Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11943
2019-12-05 
На границе раздела двух жидкостей с разными плотностями плавает, погрузившись в нижнюю жидкость на глубину $h$, толстостенный стакан с тонким дном. Стакан заполнен доверху верхней жидкостью. Внешний радиус стакана $R$, внутренний $r$. В дне стакана появляется дыра. Насколько изменится глубина погружения стакана после того как жидкость перестанет втекать а него?
Решение:
Запишем условие равновесия стакана в первом случае (рис. а):
$mg + m_{1}g = F_{в1}$.
Здесь $m$ - масса стакана, $m_{1} = \rho_{1} \pi r^{2}l$ - масса жидкости внутри стакана ($l$ - высота стакана). $F_{в1}$ - выталкивающая сила
Если тело плавает на границе раздела двух жидкостей так, что в первой жидкости находится часть тела объемом $V_{1}$, а во второй - $V_{2}$, то на тело действует выталкивающая сила, равная
$F_{в} = \rho_{1}gV_{1} + \rho_{2}gV_{2}$.
Действительно, можно мысленно разделить тело на две части по границе раздела жидкостей и рассматривать каждую часть в отдельности. От этого ни положение тела, ни действующие на него силы, конечно, не изменяться. Таким образом,
$F_{в1} = \rho_{1} g \pi R^{2} (l-h) + \rho_{2} g \pi R^{2} h$.
Тогда условие равновесия запишется так:
$mg + \rho_{1} g \pi r^{2}l = \rho_{1} g \pi R^{2} (l - h) + \rho_{2} g \pi R^{2}h$. (1)
Когда в дне стакана появится дыра, нижняя жидкость будет втекать в стакан, вытесняя оттуда верхнюю жидкость. Это будет происходить до тех пор, пока уровень границы жидкостей внутри стакана не совпадет с уровней границы жидкостей вне стакана (рис. б). И в этом случае тоже стакан будет находиться в равновесии, поэтому можно записать равенство, аналогичное равенству (1):
$mg + \rho_{1} g \pi r^{2} (l - x) + \rho_{2} g \pi r^{2} x = \rho_{1} g \pi R^{2} (l - x) + \rho_{2} g \pi R^{2} x$. (2)
Из (1) и (2) находим
$x = h \frac{R^{2} }{R^{2} - r^{2} }$.
Мы получили, что ответ не зависит ни от массы стакана, ни от плотностей жидкостей. Это может вызвать удивление. Ведь если стакан тяжелый, а верхняя среда, например, - воздух, то ясно, чти после появления дыры стакан потонет. Однако ответ задачи правильный. Дело в том, что при решения мы заведомо считали, что $h < l$ и $x < l$ (при $h \geq l$ или $x \geq l$ стакан будет тонуть). Эти условия вместе с равенствами (1) и (2) позволяют найти соотношения между плотностью материала стакана и плотностями жидкостей, при которых возможно равновесие стакана как в первом, так и во втором случаях.
На границе раздела двух жидкостей с разными плотностями плавает, погрузившись в нижнюю жидкость на глубину $h$, толстостенный стакан с тонким дном. Стакан заполнен доверху верхней жидкостью. Внешний радиус стакана $R$, внутренний $r$. В дне стакана появляется дыра. Насколько изменится глубина погружения стакана после того как жидкость перестанет втекать а него?
Решение:
Запишем условие равновесия стакана в первом случае (рис. а):
$mg + m_{1}g = F_{в1}$.
Здесь $m$ - масса стакана, $m_{1} = \rho_{1} \pi r^{2}l$ - масса жидкости внутри стакана ($l$ - высота стакана). $F_{в1}$ - выталкивающая сила
Если тело плавает на границе раздела двух жидкостей так, что в первой жидкости находится часть тела объемом $V_{1}$, а во второй - $V_{2}$, то на тело действует выталкивающая сила, равная
$F_{в} = \rho_{1}gV_{1} + \rho_{2}gV_{2}$.
Действительно, можно мысленно разделить тело на две части по границе раздела жидкостей и рассматривать каждую часть в отдельности. От этого ни положение тела, ни действующие на него силы, конечно, не изменяться. Таким образом,
$F_{в1} = \rho_{1} g \pi R^{2} (l-h) + \rho_{2} g \pi R^{2} h$.
Тогда условие равновесия запишется так:
$mg + \rho_{1} g \pi r^{2}l = \rho_{1} g \pi R^{2} (l - h) + \rho_{2} g \pi R^{2}h$. (1)
Когда в дне стакана появится дыра, нижняя жидкость будет втекать в стакан, вытесняя оттуда верхнюю жидкость. Это будет происходить до тех пор, пока уровень границы жидкостей внутри стакана не совпадет с уровней границы жидкостей вне стакана (рис. б). И в этом случае тоже стакан будет находиться в равновесии, поэтому можно записать равенство, аналогичное равенству (1):
$mg + \rho_{1} g \pi r^{2} (l - x) + \rho_{2} g \pi r^{2} x = \rho_{1} g \pi R^{2} (l - x) + \rho_{2} g \pi R^{2} x$. (2)
Из (1) и (2) находим
$x = h \frac{R^{2} }{R^{2} - r^{2} }$.
Мы получили, что ответ не зависит ни от массы стакана, ни от плотностей жидкостей. Это может вызвать удивление. Ведь если стакан тяжелый, а верхняя среда, например, - воздух, то ясно, чти после появления дыры стакан потонет. Однако ответ задачи правильный. Дело в том, что при решения мы заведомо считали, что $h < l$ и $x < l$ (при $h \geq l$ или $x \geq l$ стакан будет тонуть). Эти условия вместе с равенствами (1) и (2) позволяют найти соотношения между плотностью материала стакана и плотностями жидкостей, при которых возможно равновесие стакана как в первом, так и во втором случаях.
