Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1194
2016-10-20 
Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1-2-3-4-2-5-1, показанном на $pV$-диаграмме (см. рисунок). Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1-3. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле больше минимальной температуры в $n$ раз. Вычислите значение КПД при $n = 4$.
Решение:
Обозначим давления, объёмы и температуры, которые газ имеет в состояниях 1, 2 и 3, так, как показано на рисунке. Тогда для каждого из этих состояний можно записать уравнение Менделеева — Клапейрона:
$p_{1}V_{1} = \nu RT_{1}$,
$p_{2}V_{2} = \nu RT_{2}$, (1)
$p_{3}V_{3} = \nu RT_{3}$,
где $\nu$ — количество молей газа. Кроме того, из условия задачи следует, что справедливы соотношения:
$\frac{p_{1}}{V_{1}} = \frac{p_{2}}{V_{2}} = \frac{p_{3}}{V_{3}}$, (2)
$V_{2} = \frac{V_{1}+V_{3}}{2}$, (3)
$p_{2} = \frac{p_{1}+p_{3}}{2}$. (4)
Сначала получим несколько вспомогательных формул. Из (1) (2) следует:
$\frac{p_{1}}{V_{1}} = \frac{ \nu RT_{1}}{V_{1}^{2}} = \frac{p_{2}}{V_{2}} = \frac{ \nu RT_{2}}{V_{2}^{2}} = \frac{p_{3}}{V_{3}} = \frac{ \nu RT_{3}}{V_{3}^{2}}$.
Отсюда:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}, \frac{V_{3}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{3}}{T_{1}}}$. (5)
Деля правую и левую части (3) на $V_{1}$, с учётом двух последних уравнений имеем:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}} = \frac{1 + (V_{3}/V_{1})}{2} = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{T_{3}}{T_{1}}} \right )$,
откуда
$T_{2} = \frac{1}{4} ( \sqrt{T_{1}} + \sqrt{T_{3}})^{2}$. (6)
Теперь приступим к нахождению КПД. В данном цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 1-2-3. В соответствии с первым началом термодинамики:
$\Delta Q_{н} = \Delta U_{13} + \Delta A_{123} = \frac{3}{2} \nu R(T_{3} - T_{1}) + \frac{1}{2}(p_{1} + p_{3})(V_{3} - V_{1})$.
С учётом (1) и (2) это выражение можно преобразовать следующим образом:
$\Delta Q_{н} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1}) + \frac{1}{2}(p_{1}V_{3} - \nu RT_{1} + \nu RT_{3} - p_{3}V_{1}) = 2 \nu R(T_{3} - T_{1})$. (7)
Далее найдём количество теплоты, которое газ отдаёт холодильнику на участке 3-4-2-5-1. Это количество теплоты равно (по абсолютной величине)
$\Delta Q_{х} = \Delta U_{13} + \Delta Q_{15243} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1}) + p_{1}(V_{2} - V_{1}) + p_{2}(V_{3} -V_{2})$.
С учётом (1) и (5) выражение для $\Delta Q_{х}$ можно преобразовать следующим образом:
$\Delta Q_{х} = \frac{3}{2} \nu R(T_{3} - T_{1}) + p_{1}V_{2} - \nu RT_{1} + p_{2}V_{3} - \nu RT_{2} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3}-T_{1}) + \nu RT_{1} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \nu RT_{1} + \nu RT_{2} \frac{V_{3}}{V_{2}} - \nu RT_{2} = \frac{ \nu R}{2} (3T_{3} - 5T_{1} - 2T_{2} + 2 \sqrt{T_{1}T_{2}} + 2 \sqrt{T_{2}T_{3}})$.
Наконец, последнее выражение, с учётом (6), приводится к виду:
$\Delta Q_{х} = \frac{ \nu R}{4} (7T_{3} - 9T_{1} + 2 \sqrt{T_{1}T_{3}})$. (8)
КПД данного цикла можно найти, используя (7) и (8):
$\eta = 1 - \frac{ \Delta Q_{х}}{ \Delta Q_{н}} = 1 - \frac{\nu R (7T_{3} - 3T_{1} + 2 \sqrt{T_{1}T_{3}})}{4 \cdot 2 \nu R (T_{3} - T_{1})} = \frac{T_{1} - 2 \sqrt{T_{1}T_{3}} + T_{3}}{8(T_{3}-T_{1})}$.
Заметим, что $T_{3}$ и $T_{1}$ — это максимальная и минимальная температуры газа в данном цикле. Поскольку по условию задачи $T_{3}/T_{1} = n$, то
$\eta = \frac{1 - 2 \sqrt{T_{3}/T_{1}} + T_{3}/T_{1}}{8((T_{3}/T_{1}) - 1)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{n} + n}{n-1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{( \sqrt{n} - 1)^{2}}{n-1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
При $n = 4$ получаем $\eta = 1/24 \approx 4,17%$.
Заметим, что при вычислении КПД можно вместо количества теплоты $\Delta Q_{х}$ искать работу $A$, совершаемую газом в данном цикле. Она численно равна площади фигуры 1-2-3-4-2-5-1:
$A = \frac{ \nu R}{4} (T_{1} - 2 \sqrt{T_{1}T_{3}} + T_{3})$.
Однако, этот способ решения задачи несколько более трудоёмок.
Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1-2-3-4-2-5-1, показанном на $pV$-диаграмме (см. рисунок). Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1-3. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле больше минимальной температуры в $n$ раз. Вычислите значение КПД при $n = 4$.
Решение:
Обозначим давления, объёмы и температуры, которые газ имеет в состояниях 1, 2 и 3, так, как показано на рисунке. Тогда для каждого из этих состояний можно записать уравнение Менделеева — Клапейрона:
$p_{1}V_{1} = \nu RT_{1}$,
$p_{2}V_{2} = \nu RT_{2}$, (1)
$p_{3}V_{3} = \nu RT_{3}$,
где $\nu$ — количество молей газа. Кроме того, из условия задачи следует, что справедливы соотношения:
$\frac{p_{1}}{V_{1}} = \frac{p_{2}}{V_{2}} = \frac{p_{3}}{V_{3}}$, (2)
$V_{2} = \frac{V_{1}+V_{3}}{2}$, (3)
$p_{2} = \frac{p_{1}+p_{3}}{2}$. (4)
Сначала получим несколько вспомогательных формул. Из (1) (2) следует:
$\frac{p_{1}}{V_{1}} = \frac{ \nu RT_{1}}{V_{1}^{2}} = \frac{p_{2}}{V_{2}} = \frac{ \nu RT_{2}}{V_{2}^{2}} = \frac{p_{3}}{V_{3}} = \frac{ \nu RT_{3}}{V_{3}^{2}}$.
Отсюда:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}}, \frac{V_{3}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{3}}{T_{1}}}$. (5)
Деля правую и левую части (3) на $V_{1}$, с учётом двух последних уравнений имеем:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \sqrt{ \frac{T_{2}}{T_{1}}} = \frac{1 + (V_{3}/V_{1})}{2} = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{T_{3}}{T_{1}}} \right )$,
откуда
$T_{2} = \frac{1}{4} ( \sqrt{T_{1}} + \sqrt{T_{3}})^{2}$. (6)
Теперь приступим к нахождению КПД. В данном цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 1-2-3. В соответствии с первым началом термодинамики:
$\Delta Q_{н} = \Delta U_{13} + \Delta A_{123} = \frac{3}{2} \nu R(T_{3} - T_{1}) + \frac{1}{2}(p_{1} + p_{3})(V_{3} - V_{1})$.
С учётом (1) и (2) это выражение можно преобразовать следующим образом:
$\Delta Q_{н} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1}) + \frac{1}{2}(p_{1}V_{3} - \nu RT_{1} + \nu RT_{3} - p_{3}V_{1}) = 2 \nu R(T_{3} - T_{1})$. (7)
Далее найдём количество теплоты, которое газ отдаёт холодильнику на участке 3-4-2-5-1. Это количество теплоты равно (по абсолютной величине)
$\Delta Q_{х} = \Delta U_{13} + \Delta Q_{15243} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1}) + p_{1}(V_{2} - V_{1}) + p_{2}(V_{3} -V_{2})$.
С учётом (1) и (5) выражение для $\Delta Q_{х}$ можно преобразовать следующим образом:
$\Delta Q_{х} = \frac{3}{2} \nu R(T_{3} - T_{1}) + p_{1}V_{2} - \nu RT_{1} + p_{2}V_{3} - \nu RT_{2} = \frac{3}{2} \nu R (T_{3}-T_{1}) + \nu RT_{1} \frac{V_{2}}{V_{1}} - \nu RT_{1} + \nu RT_{2} \frac{V_{3}}{V_{2}} - \nu RT_{2} = \frac{ \nu R}{2} (3T_{3} - 5T_{1} - 2T_{2} + 2 \sqrt{T_{1}T_{2}} + 2 \sqrt{T_{2}T_{3}})$.
Наконец, последнее выражение, с учётом (6), приводится к виду:
$\Delta Q_{х} = \frac{ \nu R}{4} (7T_{3} - 9T_{1} + 2 \sqrt{T_{1}T_{3}})$. (8)
КПД данного цикла можно найти, используя (7) и (8):
$\eta = 1 - \frac{ \Delta Q_{х}}{ \Delta Q_{н}} = 1 - \frac{\nu R (7T_{3} - 3T_{1} + 2 \sqrt{T_{1}T_{3}})}{4 \cdot 2 \nu R (T_{3} - T_{1})} = \frac{T_{1} - 2 \sqrt{T_{1}T_{3}} + T_{3}}{8(T_{3}-T_{1})}$.
Заметим, что $T_{3}$ и $T_{1}$ — это максимальная и минимальная температуры газа в данном цикле. Поскольку по условию задачи $T_{3}/T_{1} = n$, то
$\eta = \frac{1 - 2 \sqrt{T_{3}/T_{1}} + T_{3}/T_{1}}{8((T_{3}/T_{1}) - 1)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1 - 2 \sqrt{n} + n}{n-1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{( \sqrt{n} - 1)^{2}}{n-1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{ \sqrt{n} - 1}{ \sqrt{n} + 1}$.
При $n = 4$ получаем $\eta = 1/24 \approx 4,17%$.
Заметим, что при вычислении КПД можно вместо количества теплоты $\Delta Q_{х}$ искать работу $A$, совершаемую газом в данном цикле. Она численно равна площади фигуры 1-2-3-4-2-5-1:
$A = \frac{ \nu R}{4} (T_{1} - 2 \sqrt{T_{1}T_{3}} + T_{3})$.
Однако, этот способ решения задачи несколько более трудоёмок.
