Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11938
2019-12-05 
В центр квадратной свободно подвешенной доски попадает пуля. Если скорость пули $v > v_{0}$, то она пробивает доску насквозь. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость пули будет равна $2v_{0}, nv_{0}$? При какой скорости пули скорость доски будет максимальной?
Масса пули $m$, масса доски $M$, сопротивление считать не зависящим от скорости.
Решение:
В горизонтальном направлении на систему пуля - доска не действуют никакие внешние силы, то есть система изолирована. Запишем законы сохранения импульса и энергии ($v > v_{0}$):
$mv = mv_{1} + MV$, (1)
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{MV^{2} }{2} + Q$ (2)
Здесь $v_{1}$ - скорость пули по выходе из доски, $V$ - скорость доски, $Q$ - количество выделившегося тепла. Причем это тепло равно работе силы сопротивления, действующей на пулю при ее движении внутри доски:
$Q = A = F_{c} d$,
где $d$- толщина доски.
Так как по условию задачи сила сопротивления не зависит от скорости, a $d$ - величина постоянная, то и количество выделившегося тепла $Q$ одинаково при всех значениях начальной скорости пули $v$.
Рассмотрим случай, когда начальная скорость пули равна $v_{0}$. Очевидно, что это минимальная скорость, с которой должна лететь пуля, чтобы насквозь пробить доску При этом пуля, пробив доску, будет иметь скорость такую же, как и доска. Обозначим эту скорость $u$ и запишем законы сохранения импульса и энергии для этого случая:
$mv_{0} = (m + M)u$,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{(m + M)u^{2}}{2} + Q$.
Отсюда
$Q = \frac{mMv_{0}^{2} }{2(m + M)}$. (3)
Теперь равенства (1) - (3) можно объединить в систему и, решив эту систему, найти величину $V$. Исключив из (1) и (2) скорость $v_{1}$, получим квадратное уравнение относительно $V$:
$V^{2} - 2 \frac{mv}{m + M}V + \frac{2mQ}{M(m + M)} = 0$,
откуда
$V = \frac{m}{m + M}v \pm \sqrt{ \frac{m^{2} }{(m + M)^{2} } v^{2} - \frac{2mQ}{M(m + M)} }$.
Подставим сюда значение $Q$ из (3) и получим
$V = \frac{m}{m + M} \left ( v \pm \sqrt{v^{2} - v_{0}^{2}} \right )$.
Теперь проанализируем, оба ли корня уравнения соответствуют условию данной задачи. Импульс доски численно равен импульсу силы сопротивления, то есть произведению величины $F_{c}$ на время ее действия $t$. Очевидно, что нем больше начальная скорость пули, тем быстрее пуля проходит сквозь доску, то есть тем меньше время $t$. Следовательно, скорость доски максимальна при скорости пули, равной $v_{0}$. С увеличением начальной скорости пули скорость доски уменьшается. Этому соответствует такое выражение для $V$:
$V = \frac{m}{m + M} \left ( v - \sqrt{v^{2} - v_{0}^{2} } \right )$.
При $v = 2v_{0}$
$V = \frac{m}{m + M} (2 - \sqrt{3} ) v_{0}$,
а при $v = nv_{0}$
$V = \frac{m}{m + M} (n - \sqrt{n^{2} - 1 } )v_{0}$.
В центр квадратной свободно подвешенной доски попадает пуля. Если скорость пули $v > v_{0}$, то она пробивает доску насквозь. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость пули будет равна $2v_{0}, nv_{0}$? При какой скорости пули скорость доски будет максимальной?
Масса пули $m$, масса доски $M$, сопротивление считать не зависящим от скорости.
Решение:
В горизонтальном направлении на систему пуля - доска не действуют никакие внешние силы, то есть система изолирована. Запишем законы сохранения импульса и энергии ($v > v_{0}$):
$mv = mv_{1} + MV$, (1)
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{MV^{2} }{2} + Q$ (2)
Здесь $v_{1}$ - скорость пули по выходе из доски, $V$ - скорость доски, $Q$ - количество выделившегося тепла. Причем это тепло равно работе силы сопротивления, действующей на пулю при ее движении внутри доски:
$Q = A = F_{c} d$,
где $d$- толщина доски.
Так как по условию задачи сила сопротивления не зависит от скорости, a $d$ - величина постоянная, то и количество выделившегося тепла $Q$ одинаково при всех значениях начальной скорости пули $v$.
Рассмотрим случай, когда начальная скорость пули равна $v_{0}$. Очевидно, что это минимальная скорость, с которой должна лететь пуля, чтобы насквозь пробить доску При этом пуля, пробив доску, будет иметь скорость такую же, как и доска. Обозначим эту скорость $u$ и запишем законы сохранения импульса и энергии для этого случая:
$mv_{0} = (m + M)u$,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{(m + M)u^{2}}{2} + Q$.
Отсюда
$Q = \frac{mMv_{0}^{2} }{2(m + M)}$. (3)
Теперь равенства (1) - (3) можно объединить в систему и, решив эту систему, найти величину $V$. Исключив из (1) и (2) скорость $v_{1}$, получим квадратное уравнение относительно $V$:
$V^{2} - 2 \frac{mv}{m + M}V + \frac{2mQ}{M(m + M)} = 0$,
откуда
$V = \frac{m}{m + M}v \pm \sqrt{ \frac{m^{2} }{(m + M)^{2} } v^{2} - \frac{2mQ}{M(m + M)} }$.
Подставим сюда значение $Q$ из (3) и получим
$V = \frac{m}{m + M} \left ( v \pm \sqrt{v^{2} - v_{0}^{2}} \right )$.
Теперь проанализируем, оба ли корня уравнения соответствуют условию данной задачи. Импульс доски численно равен импульсу силы сопротивления, то есть произведению величины $F_{c}$ на время ее действия $t$. Очевидно, что нем больше начальная скорость пули, тем быстрее пуля проходит сквозь доску, то есть тем меньше время $t$. Следовательно, скорость доски максимальна при скорости пули, равной $v_{0}$. С увеличением начальной скорости пули скорость доски уменьшается. Этому соответствует такое выражение для $V$:
$V = \frac{m}{m + M} \left ( v - \sqrt{v^{2} - v_{0}^{2} } \right )$.
При $v = 2v_{0}$
$V = \frac{m}{m + M} (2 - \sqrt{3} ) v_{0}$,
а при $v = nv_{0}$
$V = \frac{m}{m + M} (n - \sqrt{n^{2} - 1 } )v_{0}$.
