Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11935
2019-12-05 
Шар, изготовленный из твердого диэлектрика, поместили в однородное электрическое поле с напряженностью $E$. При этом диэлектрик оказался полностью поляризованным. Воспользовавшись принципом суперпозиции, найти напряженность электрического поля в центре шара и в точках на расстоянии $r$ от центра шара ($r$ меньше радиуса шара).
Молекулы диэлектрика можно представить как гантельки длины $l$ с зарядами $+q$ и $-q$ на концах. Число молекул в единице объема равно $n$.
Решение:
Во внешнем электрическом поле все гантелькн ориентируются вдоль поля (рис. а), при этом на шаре возникают заряды, распределенные определенным образом по его поверхности. Внутри шара, где плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы, заряды уничтожают друг друга.
Если внимательно посмотреть на приведенный рисунок, то можно представить себе, что шар из полностью поляризованного диэлектрика эквивалентен двум как бы вложенным друг в друга шарам. Один шар заряжен только отрицательно, другой - только положительно (рис. б и в). Центры этих шаров смещены друг относительно друга на расстояние $l$ (длина гантелькн), а относительно центра реального шара они смещены на расстояние $\frac{l}{2}$ (рис.).
Таким образом, поле в любой точке складывается из внешнего поля и полей, созданных положительно и отрицательно заряженными шарами. Поэтому вначале решим вспомогательную задачу: найдем напряженность поля внутри равномерно заряженного шара на расстоянии $r$ от его центра.
Как известно, напряженность поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю, а вне сферы поле такое же, как если бы оно создавалось точечным зарядом, находящимся в центре сферы. Разобьем равномерно заряженный шар на тонкие сферические слои, толщина которых много меньше радиуса шара. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля на расстоянии $r$ от центра шара равна сумме напряженностей полей зарядов таких сферичеcких слоев. Но напряженность поля, созданного зарядами тех слоев, радиусы которых больше $r$, равна нулю, а слоев, радиусы которых меньше $r$, такая, как если бы заряды этих слоев находились в центре шара. Следовательно, напряженность поля на расстоянии $r$ от центра шара равна $E_{r} = \frac{Qr}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r^{2} }$, где $Q_{r}$ - заряд шара радиуса $r$. Если число зарядов $q$ в единице объема шара равно $n$, то
$Q_{r} = qn \frac{4}{3} \pi r^{3}$ и $E_{r} = \frac{qnr}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Воспользовавшись полученными результатами, нетрудно найти напряженность поля в любой точке шара из диэлектрика.
Paссмотрим центр шара. Напряженность ь этой точке равна сумме трех векторов (рис.): вектора $\vec{E}$ напряженности внешнего поля, вектора $\vec{E}_{1}$ напряженности поля, созданного в этой точке положительно заряженным шаром, и вектора $\vec{E}_{2}$, напряженности поля, созданного отрицательно заряженным шаром. Так как центр шара находится на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центров положительно и отрицательно заряженных шаров, то
$E_{1} = E_{2} = \frac{qn}{3 \epsilon \epsilon_{0} } \frac{l}{2} = \frac{qnl}{6 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Потому (см рис.)
$E_{0} = E - E_{1} - E_{2} = E - \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Теперь найдем напряженность поля в некоторой точке А внутри шара. Обозначим расстояние от этой точки до центра положительно заряженного шара $r_{1}$, а до центра отрицательно заряженного шара $r_{2}$. Вектор напряженности поля в точке А складывается из трех векторов (рис.): $\vec{E}, \vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$, где $E_{1}^{ \prime} = \frac{qnr_{1} }{3 \epsilon \epsilon_{0} }$ - поле положительно заряженного шара. $E_{2}^{ \prime} = \frac{qnr_{2} }{3 \epsilon \epsilon_{0} }$ - поле отрицательно заряженного шара.
Найдем сначала сумму $\vec{E}^{ \prime}$ векторов $\vec{E}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$. Рассмотрим треугольники $AO_{1}O_{2}$ и $ABC$. Углы $\angle ABC$ и $\angle O_{1}AO_{2}$ равны, и выполняется следующее соотношение:
$\frac{AB}{BC} = \frac{O_{1}A }{O_{2}A }$,
так как
$\frac{AB}{BC} = \frac{E_{1}^{ \prime} }{E_{2}^{ \prime} } = \frac{r_{1} }{r_{2} } = \frac{O_{1}A }{O_{2}A }$.
Из подобия треугольников следует, что вектор $\vec{E}^{ \prime}$ параллелен линии $O_{1}O_{2}$.
Величину вектора $\vec{E}^{ \prime}$ можно найти из соотношения
$\frac{E^{ \prime} }{E_{1}^{ \prime} } = \frac{O_{1}O_{2} }{O_{1}A }$,
откуда
$E^{ \prime} = E_{1}^{ \prime} \frac{O_{1}O_{2} }{O_{1}A } = \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Тогда окончательно напряженность поля в точке А равна
$E_{A} = E - E^{ \prime} = E - \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Как видно, напряженность поля в точке А не зависит ни от $r_{1}$, ни от $r_{2}$, то есть не зависит от положения точки А внутри шара. Это означает, что поле внутри полностью поляризованного шара однородно.
Шар, изготовленный из твердого диэлектрика, поместили в однородное электрическое поле с напряженностью $E$. При этом диэлектрик оказался полностью поляризованным. Воспользовавшись принципом суперпозиции, найти напряженность электрического поля в центре шара и в точках на расстоянии $r$ от центра шара ($r$ меньше радиуса шара).
Молекулы диэлектрика можно представить как гантельки длины $l$ с зарядами $+q$ и $-q$ на концах. Число молекул в единице объема равно $n$.
Решение:
Во внешнем электрическом поле все гантелькн ориентируются вдоль поля (рис. а), при этом на шаре возникают заряды, распределенные определенным образом по его поверхности. Внутри шара, где плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы, заряды уничтожают друг друга.
Если внимательно посмотреть на приведенный рисунок, то можно представить себе, что шар из полностью поляризованного диэлектрика эквивалентен двум как бы вложенным друг в друга шарам. Один шар заряжен только отрицательно, другой - только положительно (рис. б и в). Центры этих шаров смещены друг относительно друга на расстояние $l$ (длина гантелькн), а относительно центра реального шара они смещены на расстояние $\frac{l}{2}$ (рис.).
Таким образом, поле в любой точке складывается из внешнего поля и полей, созданных положительно и отрицательно заряженными шарами. Поэтому вначале решим вспомогательную задачу: найдем напряженность поля внутри равномерно заряженного шара на расстоянии $r$ от его центра.
Как известно, напряженность поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю, а вне сферы поле такое же, как если бы оно создавалось точечным зарядом, находящимся в центре сферы. Разобьем равномерно заряженный шар на тонкие сферические слои, толщина которых много меньше радиуса шара. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля на расстоянии $r$ от центра шара равна сумме напряженностей полей зарядов таких сферичеcких слоев. Но напряженность поля, созданного зарядами тех слоев, радиусы которых больше $r$, равна нулю, а слоев, радиусы которых меньше $r$, такая, как если бы заряды этих слоев находились в центре шара. Следовательно, напряженность поля на расстоянии $r$ от центра шара равна $E_{r} = \frac{Qr}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} r^{2} }$, где $Q_{r}$ - заряд шара радиуса $r$. Если число зарядов $q$ в единице объема шара равно $n$, то
$Q_{r} = qn \frac{4}{3} \pi r^{3}$ и $E_{r} = \frac{qnr}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Воспользовавшись полученными результатами, нетрудно найти напряженность поля в любой точке шара из диэлектрика.
Paссмотрим центр шара. Напряженность ь этой точке равна сумме трех векторов (рис.): вектора $\vec{E}$ напряженности внешнего поля, вектора $\vec{E}_{1}$ напряженности поля, созданного в этой точке положительно заряженным шаром, и вектора $\vec{E}_{2}$, напряженности поля, созданного отрицательно заряженным шаром. Так как центр шара находится на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центров положительно и отрицательно заряженных шаров, то
$E_{1} = E_{2} = \frac{qn}{3 \epsilon \epsilon_{0} } \frac{l}{2} = \frac{qnl}{6 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Потому (см рис.)
$E_{0} = E - E_{1} - E_{2} = E - \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Теперь найдем напряженность поля в некоторой точке А внутри шара. Обозначим расстояние от этой точки до центра положительно заряженного шара $r_{1}$, а до центра отрицательно заряженного шара $r_{2}$. Вектор напряженности поля в точке А складывается из трех векторов (рис.): $\vec{E}, \vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$, где $E_{1}^{ \prime} = \frac{qnr_{1} }{3 \epsilon \epsilon_{0} }$ - поле положительно заряженного шара. $E_{2}^{ \prime} = \frac{qnr_{2} }{3 \epsilon \epsilon_{0} }$ - поле отрицательно заряженного шара.
Найдем сначала сумму $\vec{E}^{ \prime}$ векторов $\vec{E}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$. Рассмотрим треугольники $AO_{1}O_{2}$ и $ABC$. Углы $\angle ABC$ и $\angle O_{1}AO_{2}$ равны, и выполняется следующее соотношение:
$\frac{AB}{BC} = \frac{O_{1}A }{O_{2}A }$,
так как
$\frac{AB}{BC} = \frac{E_{1}^{ \prime} }{E_{2}^{ \prime} } = \frac{r_{1} }{r_{2} } = \frac{O_{1}A }{O_{2}A }$.
Из подобия треугольников следует, что вектор $\vec{E}^{ \prime}$ параллелен линии $O_{1}O_{2}$.
Величину вектора $\vec{E}^{ \prime}$ можно найти из соотношения
$\frac{E^{ \prime} }{E_{1}^{ \prime} } = \frac{O_{1}O_{2} }{O_{1}A }$,
откуда
$E^{ \prime} = E_{1}^{ \prime} \frac{O_{1}O_{2} }{O_{1}A } = \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Тогда окончательно напряженность поля в точке А равна
$E_{A} = E - E^{ \prime} = E - \frac{qnl}{3 \epsilon \epsilon_{0} }$.
Как видно, напряженность поля в точке А не зависит ни от $r_{1}$, ни от $r_{2}$, то есть не зависит от положения точки А внутри шара. Это означает, что поле внутри полностью поляризованного шара однородно.
