Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11934
2019-12-05 
На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой $F$. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан только один виток каната, второй конец каната нужно удерживать с силой $f$. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано $n$ его витков? Как изменится сила $f$, если взять столб вдвое большего радиуса? (Сила $f$ не зависит от толщины каната.)
Решение:
Сила $f$ может зависеть только от диаметра столба $d$, коэффициента трения $\mu$ между столбом и канатом и от величины силы $F$. Однако из соображении размерности можно сделать вывод, что
$f \sim F$.
Действитслььо, невозможно подобрать такую комбинацию из $F, \mu$ и $d$, чтобы она имела размерность силы. Таким образом,
$f = kF$.
где коэффициент пропорциональности $k$ связан с коэффициентом трения каната о столб.
Из этой формулы сразу же следует, что при любом изменении радиуса столба сила $f$ останется прежней.
Для того чтобы ответить на первый вопрос задачи, рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому
$f_{2} = kf$.
где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка. Для третьего витка
$f_{3} = kf_{2} = k^{2}f$
и так далее.
Для $n$-го витка получим
$f_{n} = kf_{n-1} = k^{2}f_{n-2} = \cdots = k^{n-1}f$.
Из первого равенства найдем коэффициент $k$:
$k = \frac{f}{F}$.
Следовательно
$f_{n} = k^{n-1}f = \left ( \frac{f}{F} \right )^{n- 1}f$.
На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой $F$. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан только один виток каната, второй конец каната нужно удерживать с силой $f$. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано $n$ его витков? Как изменится сила $f$, если взять столб вдвое большего радиуса? (Сила $f$ не зависит от толщины каната.)
Решение:
Сила $f$ может зависеть только от диаметра столба $d$, коэффициента трения $\mu$ между столбом и канатом и от величины силы $F$. Однако из соображении размерности можно сделать вывод, что
$f \sim F$.
Действитслььо, невозможно подобрать такую комбинацию из $F, \mu$ и $d$, чтобы она имела размерность силы. Таким образом,
$f = kF$.
где коэффициент пропорциональности $k$ связан с коэффициентом трения каната о столб.
Из этой формулы сразу же следует, что при любом изменении радиуса столба сила $f$ останется прежней.
Для того чтобы ответить на первый вопрос задачи, рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому
$f_{2} = kf$.
где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка. Для третьего витка
$f_{3} = kf_{2} = k^{2}f$
и так далее.
Для $n$-го витка получим
$f_{n} = kf_{n-1} = k^{2}f_{n-2} = \cdots = k^{n-1}f$.
Из первого равенства найдем коэффициент $k$:
$k = \frac{f}{F}$.
Следовательно
$f_{n} = k^{n-1}f = \left ( \frac{f}{F} \right )^{n- 1}f$.
