Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11931
2019-12-05 
Тонкий тяжелый обруч радиуса $R$ с очень легкими спицами может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. К обручу прикрепили маленький шарик, масса которого равна массе обруча. Найти период малых колебаний обруча с шариком. Для этого можно попытаться найти аналогию в движении обруча с шариком и математического маятника.
Решение:
Обычный способ найти период колебаний маятника заключается в том, что записывается уравнение движения маятника и затем, используя связь периода колебаний с коэффициентами в уравнении движения, находится сам период. В данном случае нам пришлось бы записать уравнение вращательного движения обруча. Имеется, однако, и другой способ - сравнить движение рассматриваемого маятника с движением математического маятника. Воспользуемся этим способом.
Очевидно, что в положении равновесия обруча с шариком шарик занимает крайнее нижнее -положение и радиус-вектор, соединяющий шарик с осью вращения, вертикален. Найдем скорость шарика в тот момент, когда ралиус-вектор составляет с вертикалью угол $\alpha$, и сравним ее со скоростью математического маятника, когда его нить образует с вертикалью тоже угол $\alpha$. Естественно считать, что длина нити математического маятника равна $R$ и что одинаковы максимальные отклонения от положения равновесия (высоты $h_{0}$, на рис. а и б).
Из закона сохранения энергии следует, что
$mgh_{0} = mgh + \frac{mv^{2} }{2} + W_{вр}$,
где $mgh + \frac{mv^{2} }{2}$ - энергия шарика, a $W_{вр}$ - эиергия вращательного движения самого обруча.
Так как все точки обруча в каждой данный момент времени движутся с одинаковой по абсолютной величине скоростью $v$, то кинетическая энергия $W_{вр}$ вращательного движения обруча равна
$W_{вр} = \frac{mv^{2} }{2}$,
Поэтому
и $mgh_{0} - mgh = 2 \frac{mv^{2} }{2}$
$v = \sqrt{g(h_{0} - h)}$.
В случае математического маятника имеем
$mgh_{0} = mgh + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v = \sqrt{2g(h_{0} - h ) }$,
Мы видим, что при любом положении шарика (то есть при любом $h$) скорость маятника, который представляет собой обруч с шариком, в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости математического маятника. Это означает, что любой участок траектории шарик проходит в $\sqrt{2}$ раз медленнее чем математический маятник, так как средняя скорость на этом участке меньше в $\sqrt{2}$ раз. Следовательно, период колебаний этого маятника $T_{1}$ в $\sqrt{2}$ раз больше периода колебаний математического маятника $T$ и поэтому равен
$T_{1} = \sqrt{2}T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
Тонкий тяжелый обруч радиуса $R$ с очень легкими спицами может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. К обручу прикрепили маленький шарик, масса которого равна массе обруча. Найти период малых колебаний обруча с шариком. Для этого можно попытаться найти аналогию в движении обруча с шариком и математического маятника.
Решение:
Обычный способ найти период колебаний маятника заключается в том, что записывается уравнение движения маятника и затем, используя связь периода колебаний с коэффициентами в уравнении движения, находится сам период. В данном случае нам пришлось бы записать уравнение вращательного движения обруча. Имеется, однако, и другой способ - сравнить движение рассматриваемого маятника с движением математического маятника. Воспользуемся этим способом.
Очевидно, что в положении равновесия обруча с шариком шарик занимает крайнее нижнее -положение и радиус-вектор, соединяющий шарик с осью вращения, вертикален. Найдем скорость шарика в тот момент, когда ралиус-вектор составляет с вертикалью угол $\alpha$, и сравним ее со скоростью математического маятника, когда его нить образует с вертикалью тоже угол $\alpha$. Естественно считать, что длина нити математического маятника равна $R$ и что одинаковы максимальные отклонения от положения равновесия (высоты $h_{0}$, на рис. а и б).
Из закона сохранения энергии следует, что
$mgh_{0} = mgh + \frac{mv^{2} }{2} + W_{вр}$,
где $mgh + \frac{mv^{2} }{2}$ - энергия шарика, a $W_{вр}$ - эиергия вращательного движения самого обруча.
Так как все точки обруча в каждой данный момент времени движутся с одинаковой по абсолютной величине скоростью $v$, то кинетическая энергия $W_{вр}$ вращательного движения обруча равна
$W_{вр} = \frac{mv^{2} }{2}$,
Поэтому
и $mgh_{0} - mgh = 2 \frac{mv^{2} }{2}$
$v = \sqrt{g(h_{0} - h)}$.
В случае математического маятника имеем
$mgh_{0} = mgh + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v = \sqrt{2g(h_{0} - h ) }$,
Мы видим, что при любом положении шарика (то есть при любом $h$) скорость маятника, который представляет собой обруч с шариком, в $\sqrt{2}$ раз меньше скорости математического маятника. Это означает, что любой участок траектории шарик проходит в $\sqrt{2}$ раз медленнее чем математический маятник, так как средняя скорость на этом участке меньше в $\sqrt{2}$ раз. Следовательно, период колебаний этого маятника $T_{1}$ в $\sqrt{2}$ раз больше периода колебаний математического маятника $T$ и поэтому равен
$T_{1} = \sqrt{2}T = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R}{g} }$.
