Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11928
2019-12-05 
Имеется равномерно заряженная полуcфера. а) Показать, что плоскость, "закрывающая" эту полусферу, эквипотенциальна. б) Определить напряженность поля в точках этой плоскости.
Плотность зарядов полусферы равна $\sigma$.
Решение:
Сложим две одинаковые равномерно заряженные полусферы с равными плотностями зарядов. В этом случае мы получим равномерно заряженную сферу, внутри которой напряженность поля, как известно, равна нулю. Согласно принципу суперпозиции, однако, напряженность поля заряда сферы равна сумме напряженностей полей зарядов полусфер. Следовательно, равна нулю сумма $\vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}$ напряженностей полей зарядом полусфер. Это возможно только в том случае, когда $| \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{2}|$ и, кроме того, оба вектора $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ перпендикулярны к плоскости П, "закрывающей" полусферу. Действительно, из симметрии ясно, что составляющие векторов $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$, параллельные этой плоскости, должны быть равными. Складываясь, они дадут нуль только в том случае, если сами равны нулю.
Итак, мы доказали, что векторы напряженности поля в точках плоскости П перпендикулярны к этой плоскости. Это означает, что при перемещении заряда в плоскости П не совершается работ? Следовательно, плоскость П эквипотенциальна.
Теперь найдем напряженность поля в точках плоскости П. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля в точке О равна сумме напряженностей полей зарядов отдельных участков полусферы. Напряженность поля заряда участка А равна, очевидно, по абсолютной величине
$E_{A} = \frac{Q_{A} }{R^{2} } = \frac{ \sigma S_{A} }{R^{2} }$,
где $S_{A$}$ - площадь участка А (участок А - участок поверхности полусферы столь малый, что его можно считать плоским, то есть линейный размер его много меньше радиуса полусферы).
Напряженность поля в точке О равна, очевидно, сумме перпендикулярных к плоскости П составляющих векторов полей зарядов отдельных участков полусферы. Составляющая $E_{A}$, перпендикулярная к плоскости полусферы, равна $E_{A} \cos \alpha$ (см. рис.). Следовательно, нам нужно найти сумму
$E = \sum \frac{ \sigma}{ R^{2} } S_{A} \cos \alpha = \frac{ \sigma}{R^{2} } \sum S_{A} \cos \alpha$.
Так как $S_{A} \cos \alpha$ - это проекция площади участка А на плоскость П, а сумма таких проекций площадей всех участков полусферы, очевидно, равна площади плоскости П, то есть $\pi \bar{R}^{2}$, то
$E = \frac{ \sigma}{R^{2}} \pi R^{2} = \pi \sigma$.
Мы нашли напряженность в центре плоскости П. Нетрудно найти напряженность поля в точках окружности, которая является пересечением плоскости П и полусферы. Так как повепхность полусферы эквипотенциальна, то силовые линии в любой точке полусферы должны быть перпендикулярны к полусфере. С другой стороны, в точках С и В они должны быть перпендикулярны плоскости П. Одновременно и то, и другое возможно только, если напряженность поля в этих точках равна нулю.
Нахождение напряженности поля, воздаваемого зарядом полусферы в других точках плоскости, требует сложных вычислении. Поле это неоднородно. Очевидно, что оно обладает симметрией относительно точки О и в каждой точке плоскости зависит от расстояния до этой точки от центра О.
Имеется равномерно заряженная полуcфера. а) Показать, что плоскость, "закрывающая" эту полусферу, эквипотенциальна. б) Определить напряженность поля в точках этой плоскости.
Плотность зарядов полусферы равна $\sigma$.
Решение:
Сложим две одинаковые равномерно заряженные полусферы с равными плотностями зарядов. В этом случае мы получим равномерно заряженную сферу, внутри которой напряженность поля, как известно, равна нулю. Согласно принципу суперпозиции, однако, напряженность поля заряда сферы равна сумме напряженностей полей зарядов полусфер. Следовательно, равна нулю сумма $\vec{E}_{1} + \vec{E}_{2}$ напряженностей полей зарядом полусфер. Это возможно только в том случае, когда $| \vec{E}_{1} | = | \vec{E}_{2}|$ и, кроме того, оба вектора $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ перпендикулярны к плоскости П, "закрывающей" полусферу. Действительно, из симметрии ясно, что составляющие векторов $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$, параллельные этой плоскости, должны быть равными. Складываясь, они дадут нуль только в том случае, если сами равны нулю.
Итак, мы доказали, что векторы напряженности поля в точках плоскости П перпендикулярны к этой плоскости. Это означает, что при перемещении заряда в плоскости П не совершается работ? Следовательно, плоскость П эквипотенциальна.
Теперь найдем напряженность поля в точках плоскости П. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля в точке О равна сумме напряженностей полей зарядов отдельных участков полусферы. Напряженность поля заряда участка А равна, очевидно, по абсолютной величине
$E_{A} = \frac{Q_{A} }{R^{2} } = \frac{ \sigma S_{A} }{R^{2} }$,
где $S_{A$}$ - площадь участка А (участок А - участок поверхности полусферы столь малый, что его можно считать плоским, то есть линейный размер его много меньше радиуса полусферы).
Напряженность поля в точке О равна, очевидно, сумме перпендикулярных к плоскости П составляющих векторов полей зарядов отдельных участков полусферы. Составляющая $E_{A}$, перпендикулярная к плоскости полусферы, равна $E_{A} \cos \alpha$ (см. рис.). Следовательно, нам нужно найти сумму
$E = \sum \frac{ \sigma}{ R^{2} } S_{A} \cos \alpha = \frac{ \sigma}{R^{2} } \sum S_{A} \cos \alpha$.
Так как $S_{A} \cos \alpha$ - это проекция площади участка А на плоскость П, а сумма таких проекций площадей всех участков полусферы, очевидно, равна площади плоскости П, то есть $\pi \bar{R}^{2}$, то
$E = \frac{ \sigma}{R^{2}} \pi R^{2} = \pi \sigma$.
Мы нашли напряженность в центре плоскости П. Нетрудно найти напряженность поля в точках окружности, которая является пересечением плоскости П и полусферы. Так как повепхность полусферы эквипотенциальна, то силовые линии в любой точке полусферы должны быть перпендикулярны к полусфере. С другой стороны, в точках С и В они должны быть перпендикулярны плоскости П. Одновременно и то, и другое возможно только, если напряженность поля в этих точках равна нулю.
Нахождение напряженности поля, воздаваемого зарядом полусферы в других точках плоскости, требует сложных вычислении. Поле это неоднородно. Очевидно, что оно обладает симметрией относительно точки О и в каждой точке плоскости зависит от расстояния до этой точки от центра О.
