Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11925
2019-12-05 
Камера-обскура представляет собой прямоугольный ящик, в одной из стенок которого имеется круглое отверстие. Освещенность изображения Солнца, которое получается на противоположной стенке камеры - экране, падает вдвое при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радиуса изображения. Вo скольких раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?
Решение:
Каждая точка изображения Солнца освещается не всем Солнцем, а только тем его участком, который виден из этой точки в малом телесном угле, ограниченном отверстием камеры-обскуры. Так как отверстие камеры мало и Солнце находится очень далеко, то можно считать, что этот телесный угол одинаков для всех точек изображения Солнца. Ясно, что освещенность точки изображении Солнца пропорциональна той площади поверхности Солнца, которая видна из данной точки.
Изменение освещенности изображения связано с тем, что по мере удаления точки от центра изображения участок Сланца, освещающий данную точку, приближается к краю Солнца, и когда участок "заходит" за край Солнца, его площадь уменьшается. Освещенность изображения точки падает вдвое, когда уменьшается вдвое площадь "освещающего" точку участка Солнца. При этом, как видно из рисунка, в данную точку попадает луч, идущий от края Солнца и проходящий через центр отверстия камеры. Это позволяет найти угол, под которым видно Солнце из точек передней стенки камеры-обскуры:
$\frac{ \alpha}{2} \approx tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{0,9R}{l}$,
где $l$ - длина камеры-обскуры. Угол же под которым виден участок Солнца, освещающий центр изображения, равен
$\frac{ \alpha_{2} }{2} \approx tg \frac{ \alpha_{1} }{2} = \frac{r}{l}$,
где $r$ - радиус отверстия камеры-обскуры. Найдем соотношение между радиусом отверстия $r$ и радиусом изображения Солнца $R$. Край изображения Солнца - это, очевидно, точка В, в которую попадает луч, идущий от края Солнца через край К отверстия. Так как Солнце находится очень далеко, то лучи, идущие от края Солнца, можно считать параллельными. Эти означает, что $r = 0,1R$.
Поэтому
$\frac{ \alpha_{1} }{2} = \frac{0,1R}{l}$.
Отношение освещенностей передней стенки камеры и центра изображения в камере равно отношению площади поверхности Солнца к площади участка Солнца, освещающему центр изображения (или, что то же, отношению телесных углов, под которым видно Солнце и соответствующий участок Солнца:
$\frac{E_{0} }{E_{1} } = \frac{S}{s}$.
Так как $S = \pi \left ( K tg \frac{ \alpha}{2} \right )^{2}$, где $L$ - расстояние до Солнца, a $L tg \frac{ \alpha}{2}$ - радиус Солнца и $s = \pi \left ( L tg \frac{ \alpha_{1} }{2} \right )^{2}$, то
$\frac{E_{0} }{E_{1} } = \left ( \frac{ tg \frac{ \alpha}{2} }{ tg \frac{ \alpha_{1} }{2} } \right )^{2} = 81$.
Камера-обскура представляет собой прямоугольный ящик, в одной из стенок которого имеется круглое отверстие. Освещенность изображения Солнца, которое получается на противоположной стенке камеры - экране, падает вдвое при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радиуса изображения. Вo скольких раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?
Решение:
Каждая точка изображения Солнца освещается не всем Солнцем, а только тем его участком, который виден из этой точки в малом телесном угле, ограниченном отверстием камеры-обскуры. Так как отверстие камеры мало и Солнце находится очень далеко, то можно считать, что этот телесный угол одинаков для всех точек изображения Солнца. Ясно, что освещенность точки изображении Солнца пропорциональна той площади поверхности Солнца, которая видна из данной точки.
Изменение освещенности изображения связано с тем, что по мере удаления точки от центра изображения участок Сланца, освещающий данную точку, приближается к краю Солнца, и когда участок "заходит" за край Солнца, его площадь уменьшается. Освещенность изображения точки падает вдвое, когда уменьшается вдвое площадь "освещающего" точку участка Солнца. При этом, как видно из рисунка, в данную точку попадает луч, идущий от края Солнца и проходящий через центр отверстия камеры. Это позволяет найти угол, под которым видно Солнце из точек передней стенки камеры-обскуры:
$\frac{ \alpha}{2} \approx tg \frac{ \alpha}{2} = \frac{0,9R}{l}$,
где $l$ - длина камеры-обскуры. Угол же под которым виден участок Солнца, освещающий центр изображения, равен
$\frac{ \alpha_{2} }{2} \approx tg \frac{ \alpha_{1} }{2} = \frac{r}{l}$,
где $r$ - радиус отверстия камеры-обскуры. Найдем соотношение между радиусом отверстия $r$ и радиусом изображения Солнца $R$. Край изображения Солнца - это, очевидно, точка В, в которую попадает луч, идущий от края Солнца через край К отверстия. Так как Солнце находится очень далеко, то лучи, идущие от края Солнца, можно считать параллельными. Эти означает, что $r = 0,1R$.
Поэтому
$\frac{ \alpha_{1} }{2} = \frac{0,1R}{l}$.
Отношение освещенностей передней стенки камеры и центра изображения в камере равно отношению площади поверхности Солнца к площади участка Солнца, освещающему центр изображения (или, что то же, отношению телесных углов, под которым видно Солнце и соответствующий участок Солнца:
$\frac{E_{0} }{E_{1} } = \frac{S}{s}$.
Так как $S = \pi \left ( K tg \frac{ \alpha}{2} \right )^{2}$, где $L$ - расстояние до Солнца, a $L tg \frac{ \alpha}{2}$ - радиус Солнца и $s = \pi \left ( L tg \frac{ \alpha_{1} }{2} \right )^{2}$, то
$\frac{E_{0} }{E_{1} } = \left ( \frac{ tg \frac{ \alpha}{2} }{ tg \frac{ \alpha_{1} }{2} } \right )^{2} = 81$.
