Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11924
2019-12-05 
Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около равновесного уровня. Найти период этих колебаний, считая, что на такой высоте плотность воздуха $\rho$ убывает с высотой равномерно на величину $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2} \rho$ через каждые $h = 100 м$. Трением шара о воздух пренебречь.
Решение:
Прежде всего покажем, что шар-зонд действительно колеблется. На него действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающая архимедова сила $\vec{F}_{в}$. Обе силы направлены по вертикали, но в противоположные стороны. Очевидно, что в положении равновесия
$mg = F_{в}$,
где $m$ - масса шара, $F_{в} = \rho Vg$ ($V$ - объем шара).
Если в силу какнх-то случайных обстоятельств шар сместится из положения равновесия, изменится величина выталкивающей силы. Причем, при смещении шара вверх $F_{в}$ уменьшится, а при смещений вниз - увеличится. Таким образом, в обоих случаях возникает равнодействующая сила, равная выталкивающей силы и направленная к положению равновесия. Найдем ее величину.
Пусть шар сместится из положения равновесия на $x$. Так как плотность воздуха изменяется с высотой равномерно, то
$\frac{ \Delta \rho }{ \delta} = \frac{x}{h}$,
где $\Delta \rho$ - изменение плотности воздуха на высоте $x$. Тогда
$\Delta E_{п} = - \Delta \rho Vg = \frac{ - \delta Vg }{h} x$
(знак "минус" указывает на то, что сила $\Delta E_{п}$ направлена всегда положению равновесия).
Мы видим, что равнодействующая сила, действующая на шар, направлена, к положению равновесия и пропорциональна отклонению шара от положения равновесия. Это означает, что шар совершает гармонические колебания, подобные колебаниям груза на пружинке (для которой $F = kx$). Роль коэффициента жесткости пружины в этом случае играет величина
$k^{ \prime} = \frac{ \delta Vg}{h}$.
Поэтому период колебаний шара равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k^{ \prime} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{mh}{ \delta Vg} }$.
Так как $m = \rho V$, то
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{h \rho}{ \delta g} } = 2 \cdot 3,14 \sqrt{ \frac{100 \cdot \rho}{1,2 \cdot 10^{-2} \rho \cdot 10 } } \approx 180$ (с)
Шар-зонд, имеющий нерастяжимую оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около равновесного уровня. Найти период этих колебаний, считая, что на такой высоте плотность воздуха $\rho$ убывает с высотой равномерно на величину $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2} \rho$ через каждые $h = 100 м$. Трением шара о воздух пренебречь.
Решение:
Прежде всего покажем, что шар-зонд действительно колеблется. На него действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и выталкивающая архимедова сила $\vec{F}_{в}$. Обе силы направлены по вертикали, но в противоположные стороны. Очевидно, что в положении равновесия
$mg = F_{в}$,
где $m$ - масса шара, $F_{в} = \rho Vg$ ($V$ - объем шара).
Если в силу какнх-то случайных обстоятельств шар сместится из положения равновесия, изменится величина выталкивающей силы. Причем, при смещении шара вверх $F_{в}$ уменьшится, а при смещений вниз - увеличится. Таким образом, в обоих случаях возникает равнодействующая сила, равная выталкивающей силы и направленная к положению равновесия. Найдем ее величину.
Пусть шар сместится из положения равновесия на $x$. Так как плотность воздуха изменяется с высотой равномерно, то
$\frac{ \Delta \rho }{ \delta} = \frac{x}{h}$,
где $\Delta \rho$ - изменение плотности воздуха на высоте $x$. Тогда
$\Delta E_{п} = - \Delta \rho Vg = \frac{ - \delta Vg }{h} x$
(знак "минус" указывает на то, что сила $\Delta E_{п}$ направлена всегда положению равновесия).
Мы видим, что равнодействующая сила, действующая на шар, направлена, к положению равновесия и пропорциональна отклонению шара от положения равновесия. Это означает, что шар совершает гармонические колебания, подобные колебаниям груза на пружинке (для которой $F = kx$). Роль коэффициента жесткости пружины в этом случае играет величина
$k^{ \prime} = \frac{ \delta Vg}{h}$.
Поэтому период колебаний шара равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k^{ \prime} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{mh}{ \delta Vg} }$.
Так как $m = \rho V$, то
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{h \rho}{ \delta g} } = 2 \cdot 3,14 \sqrt{ \frac{100 \cdot \rho}{1,2 \cdot 10^{-2} \rho \cdot 10 } } \approx 180$ (с)
