Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11923
2019-12-05 
Колесо радиуса $r$ катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса постоянна.
Как известно, траекторию криволинейного движения точки в течение малого промежутка времени всегда можно считать дугой окружности. Определить радиусы окружностей, по которым движутся точки колеса А и В в тот момент, когда радиус-вектор точки А горизонтален, а радиус-вектор точки В составляет угол $\alpha$ с вертикалью (рис.)
Решение:
Если точка движется по окружности, то ее центростремительное ускорение направлено перпендикулярно к скорости $\vec{v}$ точки и равно по абсолютной величине $\frac{v^{2} }{R}$, где $R$ - радиус этой окружности. Поэтому ясни, что мы сможем определить $R$, если будем знать скорость точки $\vec{v}$ и ее ускорение $\vec{a}$ в направлении, перпендикулярном к этой скорости
Вначале найдем скорости точек А и В относительно Земли. Это можно сделать, на пример, складывая линейные скорости вращения точек в системе координат, связанной с центром колеса и движущейся поступательно параллельно горизонтальной плоскости, со скоростью движения этой системы координат, то есть со скоростью центра колеса относительно плоскости. Можно воспользоваться менее привычным, зато более простым способом. В рассматриваемый нами момент врсмеии точка С, касающаяся плоскости, неподвижна относительно плоскости, и можно считать, что все колесо поворачивается относительно этой точки (мгновенного центра вращения). Угловые скорости вращения всех точек колеса относительно мгновенного центра вращения одинаковы и равны, в частности, угловой скорости вращения центра колеса:
$\omega = \frac{v_{0} }{r}$
($v_{0}$- скорость центра колеса). Это означает, что скорость точки В, перпендикулярная к отрезку ВС, равна
$v_{B} = \omega \cdot BC = \frac{v_{0} }{r} BC$.
Из треугольника BCD видно, что $BC = 2r \cos \frac{ \alpha}{2}$. Следовательно,
$v_{B} = 2 v_{0} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Аналогично, скорость точки А $v_{A}$, перпендикулярная к АС, равна по абсолютной величине
$v_{A} = \omega \cdot AC = 2v_{0} \cos \frac{ \pi}{4} = v_{0} \sqrt{2}$.
Теперь найдем ускорения точек В и А, перпендикулярные к скоростям этих точек. Полные ускорения этих точек - это, очевидно, центростремительные ускорения $a_{ц}$ в системе координат, связанной с центром колеса. Действительно, так как колесо движется относительно плоскости равномерно, то ускорения точек колеса в системе координат, связанной с плоскостью, совпадают с их ускорениями в системе координат, движущейся поступательно вместе с центром колеса. Поэтому центростремительные ускорения точек
А и В направлены к центру колеса и равны по абсолютной величине $a_{ц.A} = a_{ц \cdot B} = \frac{v_{0}^{2} }{r}$). Ускорения же точек А и В, перпендикулярные к скоростям $v_{A}$ и $v_{B}$, - это проекции ускорений $a_{ц.A}$ и $a_{ц.B}$ на направления, перпендикулярные к $v_{A}$ и $v_{B}$. Они равны соответственно
$a_{A} = a_{ц.A} \cos \frac{ \pi}{4} = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$,
$a_{B} = a_{ц.B} \cos \frac{ \alpha}{2} = \frac{v_{}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Таким образом, в данный момент точки А и В движутся по окружностям, радиусы которых определяются из соотношений
$\frac{v_{A}^{2} }{R_{A} } = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$ и $ \frac{v_{B}^{2} }{R_{B} } = \frac{v_{0}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2} $.
или
$\frac{(v_{0} \sqrt{2} )^{2} }{R_{A} } = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$ и $\frac{ \left (2v_{0} \cos \frac{ \alpha}{2} \right )^{2} }{R_{B} } = \frac{v_{0}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Отсюда
$R_{A} = 2r \sqrt{2}$ и $R_{B} = 4r \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Колесо радиуса $r$ катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса постоянна.
Как известно, траекторию криволинейного движения точки в течение малого промежутка времени всегда можно считать дугой окружности. Определить радиусы окружностей, по которым движутся точки колеса А и В в тот момент, когда радиус-вектор точки А горизонтален, а радиус-вектор точки В составляет угол $\alpha$ с вертикалью (рис.)
Решение:
Если точка движется по окружности, то ее центростремительное ускорение направлено перпендикулярно к скорости $\vec{v}$ точки и равно по абсолютной величине $\frac{v^{2} }{R}$, где $R$ - радиус этой окружности. Поэтому ясни, что мы сможем определить $R$, если будем знать скорость точки $\vec{v}$ и ее ускорение $\vec{a}$ в направлении, перпендикулярном к этой скорости
Вначале найдем скорости точек А и В относительно Земли. Это можно сделать, на пример, складывая линейные скорости вращения точек в системе координат, связанной с центром колеса и движущейся поступательно параллельно горизонтальной плоскости, со скоростью движения этой системы координат, то есть со скоростью центра колеса относительно плоскости. Можно воспользоваться менее привычным, зато более простым способом. В рассматриваемый нами момент врсмеии точка С, касающаяся плоскости, неподвижна относительно плоскости, и можно считать, что все колесо поворачивается относительно этой точки (мгновенного центра вращения). Угловые скорости вращения всех точек колеса относительно мгновенного центра вращения одинаковы и равны, в частности, угловой скорости вращения центра колеса:
$\omega = \frac{v_{0} }{r}$
($v_{0}$- скорость центра колеса). Это означает, что скорость точки В, перпендикулярная к отрезку ВС, равна
$v_{B} = \omega \cdot BC = \frac{v_{0} }{r} BC$.
Из треугольника BCD видно, что $BC = 2r \cos \frac{ \alpha}{2}$. Следовательно,
$v_{B} = 2 v_{0} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Аналогично, скорость точки А $v_{A}$, перпендикулярная к АС, равна по абсолютной величине
$v_{A} = \omega \cdot AC = 2v_{0} \cos \frac{ \pi}{4} = v_{0} \sqrt{2}$.
Теперь найдем ускорения точек В и А, перпендикулярные к скоростям этих точек. Полные ускорения этих точек - это, очевидно, центростремительные ускорения $a_{ц}$ в системе координат, связанной с центром колеса. Действительно, так как колесо движется относительно плоскости равномерно, то ускорения точек колеса в системе координат, связанной с плоскостью, совпадают с их ускорениями в системе координат, движущейся поступательно вместе с центром колеса. Поэтому центростремительные ускорения точек
А и В направлены к центру колеса и равны по абсолютной величине $a_{ц.A} = a_{ц \cdot B} = \frac{v_{0}^{2} }{r}$). Ускорения же точек А и В, перпендикулярные к скоростям $v_{A}$ и $v_{B}$, - это проекции ускорений $a_{ц.A}$ и $a_{ц.B}$ на направления, перпендикулярные к $v_{A}$ и $v_{B}$. Они равны соответственно
$a_{A} = a_{ц.A} \cos \frac{ \pi}{4} = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$,
$a_{B} = a_{ц.B} \cos \frac{ \alpha}{2} = \frac{v_{}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Таким образом, в данный момент точки А и В движутся по окружностям, радиусы которых определяются из соотношений
$\frac{v_{A}^{2} }{R_{A} } = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$ и $ \frac{v_{B}^{2} }{R_{B} } = \frac{v_{0}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2} $.
или
$\frac{(v_{0} \sqrt{2} )^{2} }{R_{A} } = \frac{v_{0}^{2} }{2r} \sqrt{2}$ и $\frac{ \left (2v_{0} \cos \frac{ \alpha}{2} \right )^{2} }{R_{B} } = \frac{v_{0}^{2} }{r} \cos \frac{ \alpha}{2}$.
Отсюда
$R_{A} = 2r \sqrt{2}$ и $R_{B} = 4r \cos \frac{ \alpha}{2}$.
