Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11921
2019-12-05 
Маленькая капля воды падает в воздухе с постоянной скоростью благодаря тому, что на нее со стороны воздуха действует сила трения, вызванная столкновениями молекул воздуха с каплей. Как изменится скорость падения капли при увеличении температуры воздуха?
Испарением капли пренебречь.
Решение:
На водяную каплю, движущуюся в воздухе, действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления. Если эти силы одинаковы по абсолютной величине, то капля движется с постоянной скоростью. Величина этой скорости, очевидно, зависит как от массы капли, так н от силы сопротивления, вызванной соударениями с каплей молекул воздуха. При изменении температуры воздуха изменяется скорость теплового движения молекул. Поэтому естественно ожидать, что скорость падения капли тоже изменится.
Теперь проведем количественные расчеты.
Рассмотрим столкновения молекул воздуха с каплей и найдем, как зависит сила сопротивления от скорости теплового движения молекул. При этом будем считать, что:
1) столкновения молекул с каплей - упругие;
2) молекулы, сталкивающиеся с каплей, движутся или вертикально вверх, или вертикально вниз;
3) спорости всех молекул одинаковы
Эти допущения упрощают рассуждения, но при этом они не изменяют реальной картины явления.
Вначале рассмотрим столкновение параллельною пучка частиц с неподвижной стенкой. Обозначим площадь поперечного сечения пучка $s$, скорость частицы $u$, число частиц в единице объема $n$. За время $\Delta t$ со стенкой сталкиваются те молекулы, которые находятся oт нее на расстоянии, не большем чем $u \Delta t$. Число таких частиц равно $su \Delta t n$, их общая масса $m = su \Delta t nm_{0}$ ($m_{0}$ - масса одной частицы), а импульс
$mu = su^{2} \Delta t nm_{0}$.
После упругого столкновения импульс частиц меняется на противоположный, поэтому изменение импульса равно
$\Delta (mu) = 2 mu$.
Это означает, что на частицы со стороны стенки и на стенку со стороны частиц действуют средние силы, равные по абсолютной величине
$F = \frac{ \Delta (mu)}{ \Delta t} = 2su^{2}nm_{0}$.
Таким образом, сила, действующая на стенку, пропорциональна квадрату скорости частиц относительно стенки.
Теперь рассчитаем силу сопротивления для движущейся капли. Обозначим скорость капли $v$, а скорость теплового движения молекул воздуха $u$. Молекулы, налетающие на каплю снизу, движутся относительно капли со скоростью $v+u$, а налетающие иа каплю сверху - со скоростью $u - v$. Поэтому снизу на каплю действует сила $F_{1} = k(u + v)^{2}$, а сверху - $F_{2} = k (u - v)^{2}$ ($k$ - коэффициент пропорциональности, не зависящий от скоростей $v$ и $u$).
Результирующая сила
$F = F_{1} - F_{2} = 4 kuv$.
Итак, сила сопротивления, действующая на каплю, пропорциональна скоростям $u$ и $v$. Кроме этой силы, на каплю действует еще сила тяжести $Mg$. При равномерном движении
$Mg = 4 kuv$,
откуда
$v = \frac{Mg}{4ku}$.
То есть скорость паденья капли обратно пропорциональна тепловой скорости движения молекул воздуха. Но, как известно, $u \sim \sqrt{T}$. Следовательно
$v \sim \frac{1}{ \sqrt{T} }$.
Поэтому при увеличении температуры воздуха скорость падения капли уменьшится.
Маленькая капля воды падает в воздухе с постоянной скоростью благодаря тому, что на нее со стороны воздуха действует сила трения, вызванная столкновениями молекул воздуха с каплей. Как изменится скорость падения капли при увеличении температуры воздуха?
Испарением капли пренебречь.
Решение:
На водяную каплю, движущуюся в воздухе, действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления. Если эти силы одинаковы по абсолютной величине, то капля движется с постоянной скоростью. Величина этой скорости, очевидно, зависит как от массы капли, так н от силы сопротивления, вызванной соударениями с каплей молекул воздуха. При изменении температуры воздуха изменяется скорость теплового движения молекул. Поэтому естественно ожидать, что скорость падения капли тоже изменится.
Теперь проведем количественные расчеты.
Рассмотрим столкновения молекул воздуха с каплей и найдем, как зависит сила сопротивления от скорости теплового движения молекул. При этом будем считать, что:
1) столкновения молекул с каплей - упругие;
2) молекулы, сталкивающиеся с каплей, движутся или вертикально вверх, или вертикально вниз;
3) спорости всех молекул одинаковы
Эти допущения упрощают рассуждения, но при этом они не изменяют реальной картины явления.
Вначале рассмотрим столкновение параллельною пучка частиц с неподвижной стенкой. Обозначим площадь поперечного сечения пучка $s$, скорость частицы $u$, число частиц в единице объема $n$. За время $\Delta t$ со стенкой сталкиваются те молекулы, которые находятся oт нее на расстоянии, не большем чем $u \Delta t$. Число таких частиц равно $su \Delta t n$, их общая масса $m = su \Delta t nm_{0}$ ($m_{0}$ - масса одной частицы), а импульс
$mu = su^{2} \Delta t nm_{0}$.
После упругого столкновения импульс частиц меняется на противоположный, поэтому изменение импульса равно
$\Delta (mu) = 2 mu$.
Это означает, что на частицы со стороны стенки и на стенку со стороны частиц действуют средние силы, равные по абсолютной величине
$F = \frac{ \Delta (mu)}{ \Delta t} = 2su^{2}nm_{0}$.
Таким образом, сила, действующая на стенку, пропорциональна квадрату скорости частиц относительно стенки.
Теперь рассчитаем силу сопротивления для движущейся капли. Обозначим скорость капли $v$, а скорость теплового движения молекул воздуха $u$. Молекулы, налетающие на каплю снизу, движутся относительно капли со скоростью $v+u$, а налетающие иа каплю сверху - со скоростью $u - v$. Поэтому снизу на каплю действует сила $F_{1} = k(u + v)^{2}$, а сверху - $F_{2} = k (u - v)^{2}$ ($k$ - коэффициент пропорциональности, не зависящий от скоростей $v$ и $u$).
Результирующая сила
$F = F_{1} - F_{2} = 4 kuv$.
Итак, сила сопротивления, действующая на каплю, пропорциональна скоростям $u$ и $v$. Кроме этой силы, на каплю действует еще сила тяжести $Mg$. При равномерном движении
$Mg = 4 kuv$,
откуда
$v = \frac{Mg}{4ku}$.
То есть скорость паденья капли обратно пропорциональна тепловой скорости движения молекул воздуха. Но, как известно, $u \sim \sqrt{T}$. Следовательно
$v \sim \frac{1}{ \sqrt{T} }$.
Поэтому при увеличении температуры воздуха скорость падения капли уменьшится.
