Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11918
2019-12-05 
На тороидальный сердечник из феррита с магнитной проницаемостью $\mu = 2000$ намотаны две катушки: первичная, содержащая $n_{1} = 2000$ витков, и вторичная с $n_{2} = 4000$ витков. Когда на первичную катушку было подано напряжение $U_{1} = 100,0 в$, на разомкнутой вторичной было $U_{2} = 199,0 в$. Найти, каков напряжение будет на разомкнутой вторичной катушке, если сердечник заменить на сердечник того же размера, но из феррита с $\mu^{ \prime} = 20$. Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитывать.
Решение:
Сердечник с катушками представляет собой повышающий трансформатор с отношением числа витков
$k = \frac{n_{2} }{n_{1} } = 2$. (1)
Напряжение на разомкнутой вторичной катушке $U_{2}$ равно э. д. с. $E_{1}$, наводимой на ее концах. Величину $E_{2}$ можно связать с величиной э. д. с. $E_{1}$, возникающей в первичной катушке, таким соотношением:
$\frac{E_{2} }{E_{1} } = \frac{n_{2} }{n_{1} }$. (2)
Нарисуем схему этого трансформатора, учитывая активное сопротивление первичной цепи и, как обычно, разделяя активное и реактивное сопротивления (рис.). По первичной цепи трансформатора идет переменный ток, действующее значение которого
$I = \frac{U_{1} }{ \sqrt{R^{2} + R_{L}^{2} } }$, (3)
где $R$ - активное сопротивление катушки, a $R_{L}$ - ее индуктивное сопротивление. При разомкнутой вторичном обмотке э. д. с. индукции п первичной обмотке $E_{1}$ равна напряжению на индуктивном сопротивлении, то есть
$E_{1} =IR_{L} = U_{1} \frac{R_{L} }{ \sqrt{R^{2} + R_{L}^{2} } }$. (4)
Тогда из (1) - (4) получаем
$U_{2} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} + 1} }$. (5)
Аналогичное соотношение можно написать и для трансформатора с сердечником, имеющим магнитную проницаемость $\mu^{ \prime}$. Так как $R_{L} = \omega L$, a $L \sim\mu$, то при замене сердечника изменится индуктивное сопротивление первичной обмотки, причем
$\frac{R_{L}^{ \prime} }{R_{L} } = \frac{ \mu^{ \prime} }{ \mu}$,
Таким образом,
$U_{2}^{ \prime} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} + 1 } } = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} \left ( \frac{ \mu}{ \mu^{ \prime} } \right )^{2} + 1} }$.
В этой формуле нам неизвестна только величина $\left ( \frac{R}{R_{L}} \right )^{2}$. Нaйдем ее из равенства (5):
$\left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} = \left ( k \frac{U_{1} }{U_{2} } \right )^{2} - 1$.
Поэтому окончательно
$U_{2}^{ \prime} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \mu}{ \mu^{ \prime} } \right )^{2} \left | \left ( k \frac{U_{1} }{U_{2} } \right )^{2} - 1 \right | + 1}} \approx 20 в$.
На тороидальный сердечник из феррита с магнитной проницаемостью $\mu = 2000$ намотаны две катушки: первичная, содержащая $n_{1} = 2000$ витков, и вторичная с $n_{2} = 4000$ витков. Когда на первичную катушку было подано напряжение $U_{1} = 100,0 в$, на разомкнутой вторичной было $U_{2} = 199,0 в$. Найти, каков напряжение будет на разомкнутой вторичной катушке, если сердечник заменить на сердечник того же размера, но из феррита с $\mu^{ \prime} = 20$. Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитывать.
Решение:
Сердечник с катушками представляет собой повышающий трансформатор с отношением числа витков
$k = \frac{n_{2} }{n_{1} } = 2$. (1)
Напряжение на разомкнутой вторичной катушке $U_{2}$ равно э. д. с. $E_{1}$, наводимой на ее концах. Величину $E_{2}$ можно связать с величиной э. д. с. $E_{1}$, возникающей в первичной катушке, таким соотношением:
$\frac{E_{2} }{E_{1} } = \frac{n_{2} }{n_{1} }$. (2)
Нарисуем схему этого трансформатора, учитывая активное сопротивление первичной цепи и, как обычно, разделяя активное и реактивное сопротивления (рис.). По первичной цепи трансформатора идет переменный ток, действующее значение которого
$I = \frac{U_{1} }{ \sqrt{R^{2} + R_{L}^{2} } }$, (3)
где $R$ - активное сопротивление катушки, a $R_{L}$ - ее индуктивное сопротивление. При разомкнутой вторичном обмотке э. д. с. индукции п первичной обмотке $E_{1}$ равна напряжению на индуктивном сопротивлении, то есть
$E_{1} =IR_{L} = U_{1} \frac{R_{L} }{ \sqrt{R^{2} + R_{L}^{2} } }$. (4)
Тогда из (1) - (4) получаем
$U_{2} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} + 1} }$. (5)
Аналогичное соотношение можно написать и для трансформатора с сердечником, имеющим магнитную проницаемость $\mu^{ \prime}$. Так как $R_{L} = \omega L$, a $L \sim\mu$, то при замене сердечника изменится индуктивное сопротивление первичной обмотки, причем
$\frac{R_{L}^{ \prime} }{R_{L} } = \frac{ \mu^{ \prime} }{ \mu}$,
Таким образом,
$U_{2}^{ \prime} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} + 1 } } = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} \left ( \frac{ \mu}{ \mu^{ \prime} } \right )^{2} + 1} }$.
В этой формуле нам неизвестна только величина $\left ( \frac{R}{R_{L}} \right )^{2}$. Нaйдем ее из равенства (5):
$\left ( \frac{R}{R_{L} } \right )^{2} = \left ( k \frac{U_{1} }{U_{2} } \right )^{2} - 1$.
Поэтому окончательно
$U_{2}^{ \prime} = \frac{kU_{1} }{ \sqrt{ \left ( \frac{ \mu}{ \mu^{ \prime} } \right )^{2} \left | \left ( k \frac{U_{1} }{U_{2} } \right )^{2} - 1 \right | + 1}} \approx 20 в$.
