Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11910
2019-12-05 
Вставая и приседая в определенные моменты времени, мальчик на качелях легко увеличивает амплитуду своих качаний. Объясните, почему это удается.
Решение:
Качели с мальчиком - это маятник. Свободные колебания маятника затухают из-за наличия сил сопротивления: энергия колебаний маятника переходит в тепло. Для того чтобы сделать колебания незатухающими, нужно каким-либо способом компенсировать эти потери.
Можно маятнику с помощью специального механизма периодически поставлять энергию извне. Если энергия, сообщенная маятнику, например, за период, будет больше потерянной энергии за это же время, то амплитуда колебаний будет нарастать. При этом, однако, будут увеличиваться и потери энергии. Поэтому, когда поступающая извне энергия сравняется с теряемой энергией, амплитуда колебаний перестанет изменяться. Такие колебания называют автоколебаниями. Примером механической автоколебательной системы является маятник в часах.
Другой способ увеличения амплитуды колебаний - изменение параметров самой системы. Именно о таком способе говорится в данной задаче.
Рассмотрим сначала колебания простейшей колебательной системы - математического маятника. Если маятник в силу каких-то случайных причин начал колебаться, то раскачать его, то есть увеличить амплитуду колебаний, можно следующим образом: всякий раз, когда маятник проходит положение равновесия, будем поднимать его, а когда маятник максимально отклонен, будем его опускать. Таким образом мы периодически (с частотой, в два раза большей частоты колебаний маятника) меняем длину нити маятника - параметр самой системы. Поэтому такой способ возбуждения колебаний называют параметрическим возбуждением
Когда мы поднимаем маятник, мы совершаем над ним работу, увеличиваем его потенциальную энергию. Опуская маятник, мы предоставляем возможность силе тяжести совершить работу, что уменьшает энергию маятника. Но все дело в том, что извне поступает энергии больше, чем расходуется. Действительно, поднимая за нить маятник на высоту $h$, тем самым укорачивая на $h$ длину нити, мы совершаем работу
$A_{1} \approx F_{н_{1}}h = \left ( mg + m \frac{v^{2} }{R} \right )h$,
поскольку сила натяжения нити $F_{н_{1} }$, в положении равновесия не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику центростремительное ускорение. Когда же в точке максимального отклонения от положения равновесия мы даем возможность маятнику опуститься, то есть увеличиваем до первоначального значения $R$ длину нити, сила тяжести совершает работу
$A_{2} = mgh \cos \alpha$,
так как перемещение маятника по вертикали равно $h \cos \alpha$.
Таким образом, в систему за один полупериод поступает энергия
$E = A_{1} - A_{2} > 0$.
В результате этого амплитуда колебаний будет увеличиваться (конечно, если эта поступающая энергия больше выделяемого тепла из-за действия сил сопротивления).
Теперь вернемся к задаче с качелями. Из вышесказанного ясно, что для того чтобы раскачать качели, мальчик должен приседать всякий раз, когда качели максимально отклонены, и вставать прн прохождении положения равновесия. И в этом случае как бы меняется длина нити маятника (если длиной нити считать расстояние от точки подвеса до положения центра тяжести мальчика), а роль силы натяжения нити выполняет сила реакции со стороны ног - $N$. В положении равновесия $N = mg + m \frac{v^{2} }{R}$ и*
$A_{1} \approx \left ( mg + \frac{mv^{2}}{R} \right )h$,
где $h$ - высота подъема центра тяжести мальчика. Когда качели максимально отклонены и мальчик приседает, сила тяжести совершает работу
$A_{2} = mgh \cos \alpha$.
Таким образом, за период система получает энергию
$E = 2 (A_{1} - A_{2}) \approx 2h \left [ m \frac{v^{2} }{R} + mg (1 - \cos \alpha) \right ]$.
Эта величина положительна, поэтому энергия и, следовательно, амплитуда колебаний будут увеличиваться.
Вставая и приседая в определенные моменты времени, мальчик на качелях легко увеличивает амплитуду своих качаний. Объясните, почему это удается.
Решение:
Качели с мальчиком - это маятник. Свободные колебания маятника затухают из-за наличия сил сопротивления: энергия колебаний маятника переходит в тепло. Для того чтобы сделать колебания незатухающими, нужно каким-либо способом компенсировать эти потери.
Можно маятнику с помощью специального механизма периодически поставлять энергию извне. Если энергия, сообщенная маятнику, например, за период, будет больше потерянной энергии за это же время, то амплитуда колебаний будет нарастать. При этом, однако, будут увеличиваться и потери энергии. Поэтому, когда поступающая извне энергия сравняется с теряемой энергией, амплитуда колебаний перестанет изменяться. Такие колебания называют автоколебаниями. Примером механической автоколебательной системы является маятник в часах.
Другой способ увеличения амплитуды колебаний - изменение параметров самой системы. Именно о таком способе говорится в данной задаче.
Рассмотрим сначала колебания простейшей колебательной системы - математического маятника. Если маятник в силу каких-то случайных причин начал колебаться, то раскачать его, то есть увеличить амплитуду колебаний, можно следующим образом: всякий раз, когда маятник проходит положение равновесия, будем поднимать его, а когда маятник максимально отклонен, будем его опускать. Таким образом мы периодически (с частотой, в два раза большей частоты колебаний маятника) меняем длину нити маятника - параметр самой системы. Поэтому такой способ возбуждения колебаний называют параметрическим возбуждением
Когда мы поднимаем маятник, мы совершаем над ним работу, увеличиваем его потенциальную энергию. Опуская маятник, мы предоставляем возможность силе тяжести совершить работу, что уменьшает энергию маятника. Но все дело в том, что извне поступает энергии больше, чем расходуется. Действительно, поднимая за нить маятник на высоту $h$, тем самым укорачивая на $h$ длину нити, мы совершаем работу
$A_{1} \approx F_{н_{1}}h = \left ( mg + m \frac{v^{2} }{R} \right )h$,
поскольку сила натяжения нити $F_{н_{1} }$, в положении равновесия не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику центростремительное ускорение. Когда же в точке максимального отклонения от положения равновесия мы даем возможность маятнику опуститься, то есть увеличиваем до первоначального значения $R$ длину нити, сила тяжести совершает работу
$A_{2} = mgh \cos \alpha$,
так как перемещение маятника по вертикали равно $h \cos \alpha$.
Таким образом, в систему за один полупериод поступает энергия
$E = A_{1} - A_{2} > 0$.
В результате этого амплитуда колебаний будет увеличиваться (конечно, если эта поступающая энергия больше выделяемого тепла из-за действия сил сопротивления).
Теперь вернемся к задаче с качелями. Из вышесказанного ясно, что для того чтобы раскачать качели, мальчик должен приседать всякий раз, когда качели максимально отклонены, и вставать прн прохождении положения равновесия. И в этом случае как бы меняется длина нити маятника (если длиной нити считать расстояние от точки подвеса до положения центра тяжести мальчика), а роль силы натяжения нити выполняет сила реакции со стороны ног - $N$. В положении равновесия $N = mg + m \frac{v^{2} }{R}$ и*
$A_{1} \approx \left ( mg + \frac{mv^{2}}{R} \right )h$,
где $h$ - высота подъема центра тяжести мальчика. Когда качели максимально отклонены и мальчик приседает, сила тяжести совершает работу
$A_{2} = mgh \cos \alpha$.
Таким образом, за период система получает энергию
$E = 2 (A_{1} - A_{2}) \approx 2h \left [ m \frac{v^{2} }{R} + mg (1 - \cos \alpha) \right ]$.
Эта величина положительна, поэтому энергия и, следовательно, амплитуда колебаний будут увеличиваться.
