Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1191
2016-10-20 
Над идеальным одноатомным газом совершается равновесный процесс 1-2-3-4-5-6-7. На рисунке изображён график зависимости количества теплоты $\Delta Q$, сообщённой газу в данном процессе (отсчитывая от его начала), от абсолютной температуры газа Т. Все параметры, заданные на осях графика, известны. Найдите, при каких соотношениях между этими параметрами объём газа в результате данного процесса:
а) увеличивается;
б) уменьшается;
в) остаётся неизменным.
Решение:
Прежде всего, отметим, что хотя получаемое газом суммарное количество теплоты равно нулю и конечная температура газа равна начальной, газ не обязательно вернётся в прежнее состояние, то есть точки 1 и 7 на диаграмме состояния не обязательно совпадут. Поэтому на $pV$-диаграмме график этого процесса может быть и незамкнутым (см. рис.).
График процесса на этой диаграмме состоит из изотермы 1-2 (температура $T_{1}$, газ получает количество теплоты $Q_{1}$), адиабаты 2-3 (температура газа возрастает от $T_{1}$ до $T_{3}$, теплообмен отсутствует), изотермы 3-4 (температура $T_{3}$, газ получает количество теплоты $Q_{3}$), адиабаты 4-5 (температура газа убывает от $T_{3}$ до $T_{2}$), изотермы 5-6 (температура $T_{2}$, газ отдаёт количество теплоты $Q_{1} + Q_{3}$) и адиабаты 6-7 (температура газа убывает от $T_{2}$ до $T_{1}$).
Обозначим на графике цифрой 8 точку пересечения адиабаты 2-3 и изотермы 5-6. Тогда замкнутый процесс $8 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 8$ будет являться циклом Карно. В соответствии с формулой для КПД такого цикла, количество теплоты, отданное газом на изотермическом участке 5-8, равно $Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}}$. Следовательно, на изотермическом участке 8-6 газ отдаёт количество теплоты, равное $Q_{1} + Q_{3} — Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}}$.
При $V_{7} > V_{1}$ процесс $6 \rightarrow 7 \rightarrow 2 \rightarrow 8 \rightarrow 6$ замкнут и является циклом Карно, проводимым в «обратную» сторону, то есть холодильным циклом. При этом на участке 7-2 газ получает количество теплоты, равное $\frac{T_{1}}{T_{2}} \left ( Q_{1} + Q_{3} - Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}} \right )$, и в рассматриваемом случае замкнутого цикла оно должно быть меньше $Q_{1}$. Следовательно, объём газа увеличивается $(V_{7} > V_{1})$, если
$\frac{Q_{1}-Q_{3}}{T_{2}} - \frac{Q_{3}}{T_{3}} < \frac{Q_{1}}{T_{1}}$ или $\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} > 0$.
Далее, $V_{7} = V_{1}$, если
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} = 0$,
и $V_{7} < V_{1}$ при
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} < 0$.
Над идеальным одноатомным газом совершается равновесный процесс 1-2-3-4-5-6-7. На рисунке изображён график зависимости количества теплоты $\Delta Q$, сообщённой газу в данном процессе (отсчитывая от его начала), от абсолютной температуры газа Т. Все параметры, заданные на осях графика, известны. Найдите, при каких соотношениях между этими параметрами объём газа в результате данного процесса:
а) увеличивается;
б) уменьшается;
в) остаётся неизменным.
Решение:
Прежде всего, отметим, что хотя получаемое газом суммарное количество теплоты равно нулю и конечная температура газа равна начальной, газ не обязательно вернётся в прежнее состояние, то есть точки 1 и 7 на диаграмме состояния не обязательно совпадут. Поэтому на $pV$-диаграмме график этого процесса может быть и незамкнутым (см. рис.).
График процесса на этой диаграмме состоит из изотермы 1-2 (температура $T_{1}$, газ получает количество теплоты $Q_{1}$), адиабаты 2-3 (температура газа возрастает от $T_{1}$ до $T_{3}$, теплообмен отсутствует), изотермы 3-4 (температура $T_{3}$, газ получает количество теплоты $Q_{3}$), адиабаты 4-5 (температура газа убывает от $T_{3}$ до $T_{2}$), изотермы 5-6 (температура $T_{2}$, газ отдаёт количество теплоты $Q_{1} + Q_{3}$) и адиабаты 6-7 (температура газа убывает от $T_{2}$ до $T_{1}$).
Обозначим на графике цифрой 8 точку пересечения адиабаты 2-3 и изотермы 5-6. Тогда замкнутый процесс $8 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 8$ будет являться циклом Карно. В соответствии с формулой для КПД такого цикла, количество теплоты, отданное газом на изотермическом участке 5-8, равно $Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}}$. Следовательно, на изотермическом участке 8-6 газ отдаёт количество теплоты, равное $Q_{1} + Q_{3} — Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}}$.
При $V_{7} > V_{1}$ процесс $6 \rightarrow 7 \rightarrow 2 \rightarrow 8 \rightarrow 6$ замкнут и является циклом Карно, проводимым в «обратную» сторону, то есть холодильным циклом. При этом на участке 7-2 газ получает количество теплоты, равное $\frac{T_{1}}{T_{2}} \left ( Q_{1} + Q_{3} - Q_{3} \frac{T_{2}}{T_{3}} \right )$, и в рассматриваемом случае замкнутого цикла оно должно быть меньше $Q_{1}$. Следовательно, объём газа увеличивается $(V_{7} > V_{1})$, если
$\frac{Q_{1}-Q_{3}}{T_{2}} - \frac{Q_{3}}{T_{3}} < \frac{Q_{1}}{T_{1}}$ или $\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} > 0$.
Далее, $V_{7} = V_{1}$, если
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} = 0$,
и $V_{7} < V_{1}$ при
$\frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{3}}{T_{3}} - \frac{Q_{1}+Q_{3}}{T_{2}} < 0$.
