Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11900
2019-12-01 
Цилиндрический сосуд с двойными стенками наполнен льдом. Радиус внешней стенки $r_{2} = 5 см$, внутренней $r_{1} = 4 см$, высота сосуда $H = 20 см$. Давление воздуха, находящегося между стенками до заполнения сосуда льдом, $p = 1,3 \cdot 10^{-2} Па$. Температура окружающего воздуха $T_{2} = 293 К$.
Определите время, в течение которого в сосуде растает $m = 100 г$ льда.
Решение:
При стационарном состоянии (температура стенок не меняется) количество тепла, получаемое внутренней стенкой от внешней благодаря теплопроводности воздуха, идет на плавление льда. Чтобы установить, каким образом происходит перенос энергии, вычислим среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками сосуда.
Если средняя длина свободного пробега окажется меньшей расстояния между стенками сосуда, то переносимую энергию можно найти, пользуясь законом Фурье.
Если же средняя длина свободного пробега больше расстояния между стенками или равна ему, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда. Для расчета средней длины свободного пробега примем температуру воздуха между стенками сосуда равной средней температуре стенок $T = \frac{T_{1} + T_{2} }{2} = 283 К$, а эффективный диаметр молекул воздуха, состоящего главным образом из азота, примем равным $d = 3,6 \cdot 10^{-10} м$. При этих условиях для средней длины свободного пробега получаем:
$\bar{ \lambda} = \frac{kT}{ \sqrt{2} \pi d^{2} p }$
или (после подстановки значений величин)
$\bar{ \lambda} = 5,2 м$.
Расстояние между стенками сосуда $r_{2} - r_{1} = 0,01 м$. Следовательно, при давлении $p = 1,3 \cdot 10^{-2} Па$ длина свободного пробега равна расстоянию между стенками. В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул: один поток образует молекулы, имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки, а другой поток - молекулы, обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.
Для расчета теплоты, получаемой холодной стенкой, найдем энергию, передаваемую этой стенке молекулами, пришедшими от горячей стенки. Примем, что от стенки к стенке движется 1/6 всех молекул и что все молекулы, летящие от стенки, имеющей температуру $T_{1}$, обладают энергией $W = \frac{5}{2} kT$.
Энергия, отдаваемая одной молекулой при ударе о холодную стенку, равна:
$\Delta W_{0} = \frac{5}{2}k(T_{2} - T_{1})$. (1)
Число ударов, испытываемых холодной стенкой за время $\Delta t$, равно:
$z = \frac{N}{6} \frac{ \Delta t}{ \tau}$, (2)
где $\tau$ - время между последовательными ударами молекул о холодную стенку, $N$ - общее число молекул.
Учитывая, что молекулы подлетают к холодной стенке со скоростью $v_{2}$ и отражаются со скоростью $v_{1}$, получим следующее выражение для времени между последовательными ударами молекул:
$\tau = \frac{l}{v_{1} } + \frac{l}{v_{2} } = l \frac{v_{1} + v_{2} }{v_{1}v_{2} }$.
Поэтому энергия, получаемая холодной стенкой за время $\Delta T$, равна:
$\Delta W = \Delta W_{0} \frac{N}{6} \frac{v_{1}v_{2} }{l(v_{1} + v_{2} ) } \Delta t$. (3)
Эта энергия идет на плавление льда:
$\Delta W = qm$, (4)
где $q = 3,33 \cdot 10^{5} Дж/кг$ - удельная теплота плавления льда и $m$ - масса льда.
Учитывая зависимость средней скорости молекул от температуры, имеем:
$\frac{v_{1}v_{2} }{v_{1} + v_{2} } = \frac{ \sqrt{8RT_{1}T_{2} } }{ \sqrt{ \pi \mu} ( \sqrt{T_{1} } + \sqrt{T_{2} } ) }$. (5)
Общее число молекул между стенками сосуда
$N = n_{0} \pi ( r_{2}^{2} - r_{1}^{2})H$,
а концентрация молекул
$n_{0} = \frac{p}{kT_{2} }$.
Следовательно,
$N = \frac{p}{kT_{2} } \pi ( r_{2}^{2} - r_{1}^{2} )H$. (6)
Подставив выражения (1), (4), (5), (6) в формулу (3), найдем время, необходимое для плавления льда:
$\Delta t = \frac{6 qm T_{2} \sqrt{ \mu} }{5pH ( \sqrt{T_{2} } - \sqrt{T_{1} } )(r_{2} + r_{1} ) \sqrt{2 \pi RT_{1}T_{2} } }$.
Производя вычисления, получаем:
$\Delta t = 6,9 \cdot 10^{7} с$.
Цилиндрический сосуд с двойными стенками наполнен льдом. Радиус внешней стенки $r_{2} = 5 см$, внутренней $r_{1} = 4 см$, высота сосуда $H = 20 см$. Давление воздуха, находящегося между стенками до заполнения сосуда льдом, $p = 1,3 \cdot 10^{-2} Па$. Температура окружающего воздуха $T_{2} = 293 К$.
Определите время, в течение которого в сосуде растает $m = 100 г$ льда.
Решение:
При стационарном состоянии (температура стенок не меняется) количество тепла, получаемое внутренней стенкой от внешней благодаря теплопроводности воздуха, идет на плавление льда. Чтобы установить, каким образом происходит перенос энергии, вычислим среднюю длину свободного пробега молекул воздуха, заключенного между стенками сосуда.
Если средняя длина свободного пробега окажется меньшей расстояния между стенками сосуда, то переносимую энергию можно найти, пользуясь законом Фурье.
Если же средняя длина свободного пробега больше расстояния между стенками или равна ему, то соударениями молекул можно пренебречь и учитывать только удары молекул о стенки сосуда. Для расчета средней длины свободного пробега примем температуру воздуха между стенками сосуда равной средней температуре стенок $T = \frac{T_{1} + T_{2} }{2} = 283 К$, а эффективный диаметр молекул воздуха, состоящего главным образом из азота, примем равным $d = 3,6 \cdot 10^{-10} м$. При этих условиях для средней длины свободного пробега получаем:
$\bar{ \lambda} = \frac{kT}{ \sqrt{2} \pi d^{2} p }$
или (после подстановки значений величин)
$\bar{ \lambda} = 5,2 м$.
Расстояние между стенками сосуда $r_{2} - r_{1} = 0,01 м$. Следовательно, при давлении $p = 1,3 \cdot 10^{-2} Па$ длина свободного пробега равна расстоянию между стенками. В этом случае в пространстве между стенками имеются как бы два встречных потока молекул: один поток образует молекулы, имеющие среднюю энергию, соответствующую температуре более горячей стенки, а другой поток - молекулы, обладающие средней энергией, соответствующей температуре холодной стенки.
Для расчета теплоты, получаемой холодной стенкой, найдем энергию, передаваемую этой стенке молекулами, пришедшими от горячей стенки. Примем, что от стенки к стенке движется 1/6 всех молекул и что все молекулы, летящие от стенки, имеющей температуру $T_{1}$, обладают энергией $W = \frac{5}{2} kT$.
Энергия, отдаваемая одной молекулой при ударе о холодную стенку, равна:
$\Delta W_{0} = \frac{5}{2}k(T_{2} - T_{1})$. (1)
Число ударов, испытываемых холодной стенкой за время $\Delta t$, равно:
$z = \frac{N}{6} \frac{ \Delta t}{ \tau}$, (2)
где $\tau$ - время между последовательными ударами молекул о холодную стенку, $N$ - общее число молекул.
Учитывая, что молекулы подлетают к холодной стенке со скоростью $v_{2}$ и отражаются со скоростью $v_{1}$, получим следующее выражение для времени между последовательными ударами молекул:
$\tau = \frac{l}{v_{1} } + \frac{l}{v_{2} } = l \frac{v_{1} + v_{2} }{v_{1}v_{2} }$.
Поэтому энергия, получаемая холодной стенкой за время $\Delta T$, равна:
$\Delta W = \Delta W_{0} \frac{N}{6} \frac{v_{1}v_{2} }{l(v_{1} + v_{2} ) } \Delta t$. (3)
Эта энергия идет на плавление льда:
$\Delta W = qm$, (4)
где $q = 3,33 \cdot 10^{5} Дж/кг$ - удельная теплота плавления льда и $m$ - масса льда.
Учитывая зависимость средней скорости молекул от температуры, имеем:
$\frac{v_{1}v_{2} }{v_{1} + v_{2} } = \frac{ \sqrt{8RT_{1}T_{2} } }{ \sqrt{ \pi \mu} ( \sqrt{T_{1} } + \sqrt{T_{2} } ) }$. (5)
Общее число молекул между стенками сосуда
$N = n_{0} \pi ( r_{2}^{2} - r_{1}^{2})H$,
а концентрация молекул
$n_{0} = \frac{p}{kT_{2} }$.
Следовательно,
$N = \frac{p}{kT_{2} } \pi ( r_{2}^{2} - r_{1}^{2} )H$. (6)
Подставив выражения (1), (4), (5), (6) в формулу (3), найдем время, необходимое для плавления льда:
$\Delta t = \frac{6 qm T_{2} \sqrt{ \mu} }{5pH ( \sqrt{T_{2} } - \sqrt{T_{1} } )(r_{2} + r_{1} ) \sqrt{2 \pi RT_{1}T_{2} } }$.
Производя вычисления, получаем:
$\Delta t = 6,9 \cdot 10^{7} с$.
