Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1190
2016-10-20 
Требуется перевести идеальный газ из состояния 1 с температурой $T_{1}$ в состояние 2 с температурой $T_{2} > T_{1}$ таким образом, чтобы температура в течение всего обратимого процесса 1-2 не убывала, а тепло не отводилось от газа. Минимальное количество теплоты, которое передаётся газу в таком процессе, равно $Q_{1}$. Какое максимальное количество теплоты можно сообщить газу при данных условиях проведения процесса?
Решение:
Нарисуем $pV$-диаграмму и обозначим состояния с температурами $T_{1}$ и $T_{2}$ точками «1» и «2» соответственно (см. рис.). Проведём через эти точки изотермы и адиабаты и обозначим точки их пересечения «3» и «4». Из условия задачи следует, что процесс $1 \rightarrow 2$, в течение которого температура не убывает, а тепло не отводится от газа, возможен. Это означает, что точка 2 лежит справа от адиабаты, проходящей через точку 1. При этом график произвольного процесса $1 \rightarrow 2$, для которого, однако, выполняются условия задачи, лежит внутри цикла $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.
Обозначим через $Q_{12}, Q_{132}$ и $Q_{142}$ количества теплоты, сообщаемые газу в процессах $1 \rightarrow 2, 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ и $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ соответственно. Рассмотрим процесс $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. В нём газ сначала получает тепло $Q_{132}$, потом отдаёт тепло $Q_{12}$, совершая при этом работу $Q_{132} — Q_{12}$, которая равна площади фигуры, ограниченной на диаграмме линиями «1-3», «3-2» и «2-1». Так как эта площадь неотрицательна, то $Q_{132} \geq Q_{12}$.
Рассмотрим аналогичным образом процесс $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Работа, которую совершает газ в этом процессе, также неотрицательна и равна $Q_{12} - Q_{142}$, откуда $Q_{12} \geq Q_{142}$.
Из полученных неравенств имеем:
$Q_{142} \leq Q_{12} \leq Q_{132}$.
Поскольку процесс $1 \rightarrow 2$ — произвольный (из числа удовлетворяющих условию задачи), то из данного неравенства следует, что минимальное количество теплоты $Q_{1}$, которое может передаваться газу в таком процессе, равно $Q_{142}$. Максимальное же количество теплоты $Q_{2}$, которое может передаваться газу в данном процессе, из тех же соображений равно $Q_{132}$.
Таким образом, для того, чтобы получить ответ задачи, нужно рассмотреть цикл Карно $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Его КПД равен
$\eta = 1 - \frac{Q_{142}}{Q_{132}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}$,
откуда, с учётом того, что $Q_{142} = Q_{1}$ и $Q_{132} = Q_{2}$, находим:
$Q_{max} = Q_{2} = \frac{T_{2}}{T_{1}}Q_{1}$.
Требуется перевести идеальный газ из состояния 1 с температурой $T_{1}$ в состояние 2 с температурой $T_{2} > T_{1}$ таким образом, чтобы температура в течение всего обратимого процесса 1-2 не убывала, а тепло не отводилось от газа. Минимальное количество теплоты, которое передаётся газу в таком процессе, равно $Q_{1}$. Какое максимальное количество теплоты можно сообщить газу при данных условиях проведения процесса?
Решение:
Нарисуем $pV$-диаграмму и обозначим состояния с температурами $T_{1}$ и $T_{2}$ точками «1» и «2» соответственно (см. рис.). Проведём через эти точки изотермы и адиабаты и обозначим точки их пересечения «3» и «4». Из условия задачи следует, что процесс $1 \rightarrow 2$, в течение которого температура не убывает, а тепло не отводится от газа, возможен. Это означает, что точка 2 лежит справа от адиабаты, проходящей через точку 1. При этом график произвольного процесса $1 \rightarrow 2$, для которого, однако, выполняются условия задачи, лежит внутри цикла $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$.
Обозначим через $Q_{12}, Q_{132}$ и $Q_{142}$ количества теплоты, сообщаемые газу в процессах $1 \rightarrow 2, 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ и $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ соответственно. Рассмотрим процесс $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. В нём газ сначала получает тепло $Q_{132}$, потом отдаёт тепло $Q_{12}$, совершая при этом работу $Q_{132} — Q_{12}$, которая равна площади фигуры, ограниченной на диаграмме линиями «1-3», «3-2» и «2-1». Так как эта площадь неотрицательна, то $Q_{132} \geq Q_{12}$.
Рассмотрим аналогичным образом процесс $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Работа, которую совершает газ в этом процессе, также неотрицательна и равна $Q_{12} - Q_{142}$, откуда $Q_{12} \geq Q_{142}$.
Из полученных неравенств имеем:
$Q_{142} \leq Q_{12} \leq Q_{132}$.
Поскольку процесс $1 \rightarrow 2$ — произвольный (из числа удовлетворяющих условию задачи), то из данного неравенства следует, что минимальное количество теплоты $Q_{1}$, которое может передаваться газу в таком процессе, равно $Q_{142}$. Максимальное же количество теплоты $Q_{2}$, которое может передаваться газу в данном процессе, из тех же соображений равно $Q_{132}$.
Таким образом, для того, чтобы получить ответ задачи, нужно рассмотреть цикл Карно $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Его КПД равен
$\eta = 1 - \frac{Q_{142}}{Q_{132}} = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}}$,
откуда, с учётом того, что $Q_{142} = Q_{1}$ и $Q_{132} = Q_{2}$, находим:
$Q_{max} = Q_{2} = \frac{T_{2}}{T_{1}}Q_{1}$.
