Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11899
2019-12-01 
С помощью окулярного микрометра ведут наблюдение за изменением размера капли воды, находящейся достаточно большой промежуток времени в комнате при температуре $20^{ \circ} С$. Вначале радиус капли был равен $r_{1} = 1,48 \cdot 10^{-3} м$; через промежуток времени $\tau = 25 мин$ он стал $r_{2} = 1,31 \cdot 10^{-3} м$. Определите: а) плотность паров воды на расстоянии $2r_{1}$ от центра капли; 6) коэффициент диффузии молекул воды в воздухе.
Решение:
Предполагаем, что внешние силы на молекулы воды не действуют и температура воды и воздуха одинакова. При этом можно считать, что уменьшение размеров капли происходит из-за диффузии молекул воды в воздух.
Поверхность капли окружена прилегающим к ней слоем насыщенного водяного пара, из которого этот пар медленно диффундирует в окружающий воздух.
При малом размере капли ее можно принять за шар. Начало координат выбранной системы отсчета совместим с центром капли. Поскольку диффузионный поток направлен вдоль радиуса, то единственной координатой, от которой зависит плотность паров воды $\rho$ (или концентрация молекул воды), является радиус $r$. По закону Фика, количество вещества, перенесенное в 1 с в результате диффузии, равно:
$\Delta m = - D \frac{d \rho}{dr} \Delta S = - D \frac{d \rho}{dr} 4 \pi r^{2}$. (1)
Через каждую сферическую поверхность, концентричную поверхности капли, должно проходить одинаковое количество вещества (вещество нигде не расходуется и не появляется извне). Из уравнеиня (1)
$d \rho = - \frac{ \Delta m}{4 \pi D} \frac{dr}{r^{2} }$. (2)
При $r = r_{1}$ плотность пара равна плотности насыщенного водяного пара при температуре $20^{ \circ} С$ ($\rho = \rho_{н.п}$). После интегрирования уравнения (2) получаем:
$\rho = \rho_{н.п} - \frac{ \Delta m}{4 \pi D} \left ( \frac{1}{r_{1} } - \frac{1}{r} \right )$. (3)
Очевидно, что при $r \rightarrow \infty$ можно принять $\rho \rightarrow 0$. Учитывая это, находим из уравнения (3) значение для коэффициента диффузии $D$:
$D = \frac{ \Delta m}{4 \pi \rho_{н.п}r_{1}}$. (4)
Подставив полученное значение $D$ в уравнение (3), получаем зависимость плотности паров воды от расстояния до центра капли:
$\rho = \rho_{н.п} r_{1} \frac{1}{r}$. (5)
Отсюда видно, что плотность паров воды убывает обратно пропорционально расстоянию от центра капли (рис.).
Плотность паров воды на расстоянии $2r_{1}$, от центра капли, как видно из формулы (5), вдвое меньше плотности насыщающего пара:
$\rho = \frac{1}{2} \rho_{н.п}$.
температуре $t = 20^{ \circ} С$ соответствует плотность насыщающего водяного пара $\rho_{н.п} = 17,3 \cdot 10^{-3} кг/м^{3}$. Поэтому на расстоянии $2r_{1}$ плотность пара $\rho = 8,65 \cdot 10^{-3} кг/м^{3}$.
Для определения коэффициента диффузии найдем количество вещества $\Delta m$, диффундировавшего за время $\tau$.
Элементарное изменение массы капли жидкости плотностью $\rho_{ж}$ равно $dm = \rho_{ж} 4 \pi r^{2}dr$. При уменьшении радиуса капли от $r_{1}$ до $r_{2}$ масса уменьшится на
$m = -4 \pi \rho_{ж} \int_{r_{1} }^{r_{2} } r^{2}dr = - 4 \pi \rho_{ж} \frac{1}{3}(r_{2}^{3} - r_{1}^{3})$.
Используя формулы приближенных вычислений для нахождения $(r_{2}^{3} - r_{1}^{3})$ и учитывая, что $r_{2} = r_{1} - \Delta r$, получаем:
$m = \Delta m \tau = 4 \pi \rho_{ж} r_{1}r_{2} \Delta r$. (5)
Определив из этого уравнения $\Delta m$ и подставив в уравнение (4), находим коэффициент диффузии:
$D = \frac{ \rho_{ж} r_{2} \Delta r }{ \tau \rho_{н.п} }$. (6)
После подстановки в формулу (6) значений величин из условия задачи и таблиц, получаем:
$D = 8,7 \cdot 10^{-5} \frac{м^{2} }{с}$.
С помощью окулярного микрометра ведут наблюдение за изменением размера капли воды, находящейся достаточно большой промежуток времени в комнате при температуре $20^{ \circ} С$. Вначале радиус капли был равен $r_{1} = 1,48 \cdot 10^{-3} м$; через промежуток времени $\tau = 25 мин$ он стал $r_{2} = 1,31 \cdot 10^{-3} м$. Определите: а) плотность паров воды на расстоянии $2r_{1}$ от центра капли; 6) коэффициент диффузии молекул воды в воздухе.
Решение:
Предполагаем, что внешние силы на молекулы воды не действуют и температура воды и воздуха одинакова. При этом можно считать, что уменьшение размеров капли происходит из-за диффузии молекул воды в воздух.
Поверхность капли окружена прилегающим к ней слоем насыщенного водяного пара, из которого этот пар медленно диффундирует в окружающий воздух.
При малом размере капли ее можно принять за шар. Начало координат выбранной системы отсчета совместим с центром капли. Поскольку диффузионный поток направлен вдоль радиуса, то единственной координатой, от которой зависит плотность паров воды $\rho$ (или концентрация молекул воды), является радиус $r$. По закону Фика, количество вещества, перенесенное в 1 с в результате диффузии, равно:
$\Delta m = - D \frac{d \rho}{dr} \Delta S = - D \frac{d \rho}{dr} 4 \pi r^{2}$. (1)
Через каждую сферическую поверхность, концентричную поверхности капли, должно проходить одинаковое количество вещества (вещество нигде не расходуется и не появляется извне). Из уравнеиня (1)
$d \rho = - \frac{ \Delta m}{4 \pi D} \frac{dr}{r^{2} }$. (2)
При $r = r_{1}$ плотность пара равна плотности насыщенного водяного пара при температуре $20^{ \circ} С$ ($\rho = \rho_{н.п}$). После интегрирования уравнения (2) получаем:
$\rho = \rho_{н.п} - \frac{ \Delta m}{4 \pi D} \left ( \frac{1}{r_{1} } - \frac{1}{r} \right )$. (3)
Очевидно, что при $r \rightarrow \infty$ можно принять $\rho \rightarrow 0$. Учитывая это, находим из уравнения (3) значение для коэффициента диффузии $D$:
$D = \frac{ \Delta m}{4 \pi \rho_{н.п}r_{1}}$. (4)
Подставив полученное значение $D$ в уравнение (3), получаем зависимость плотности паров воды от расстояния до центра капли:
$\rho = \rho_{н.п} r_{1} \frac{1}{r}$. (5)
Отсюда видно, что плотность паров воды убывает обратно пропорционально расстоянию от центра капли (рис.).
Плотность паров воды на расстоянии $2r_{1}$, от центра капли, как видно из формулы (5), вдвое меньше плотности насыщающего пара:
$\rho = \frac{1}{2} \rho_{н.п}$.
температуре $t = 20^{ \circ} С$ соответствует плотность насыщающего водяного пара $\rho_{н.п} = 17,3 \cdot 10^{-3} кг/м^{3}$. Поэтому на расстоянии $2r_{1}$ плотность пара $\rho = 8,65 \cdot 10^{-3} кг/м^{3}$.
Для определения коэффициента диффузии найдем количество вещества $\Delta m$, диффундировавшего за время $\tau$.
Элементарное изменение массы капли жидкости плотностью $\rho_{ж}$ равно $dm = \rho_{ж} 4 \pi r^{2}dr$. При уменьшении радиуса капли от $r_{1}$ до $r_{2}$ масса уменьшится на
$m = -4 \pi \rho_{ж} \int_{r_{1} }^{r_{2} } r^{2}dr = - 4 \pi \rho_{ж} \frac{1}{3}(r_{2}^{3} - r_{1}^{3})$.
Используя формулы приближенных вычислений для нахождения $(r_{2}^{3} - r_{1}^{3})$ и учитывая, что $r_{2} = r_{1} - \Delta r$, получаем:
$m = \Delta m \tau = 4 \pi \rho_{ж} r_{1}r_{2} \Delta r$. (5)
Определив из этого уравнения $\Delta m$ и подставив в уравнение (4), находим коэффициент диффузии:
$D = \frac{ \rho_{ж} r_{2} \Delta r }{ \tau \rho_{н.п} }$. (6)
После подстановки в формулу (6) значений величин из условия задачи и таблиц, получаем:
$D = 8,7 \cdot 10^{-5} \frac{м^{2} }{с}$.
