Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11892
2019-12-01 
Концентрация молекул идеального газа $n_{0}$, температура газа $T$, масса молекул $m$. Газ находится в тепловом равновесии. Определите число молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу поверхности сосуда.
Решение:
О выбранную единицу поверхности сосуда ударяются те молекулы, проекции скорости которых на направление, перпендикулярное к поверхности, не равны нулю. Пусть ось $x$ перпендикулярна к рассматриваемой поверхности. Число молекул $dn_{x}$ в единице объема, проекция скорости которых заключена в интервале между $v_{x}$ и $v_{x} + dv_{x}$, равно:
$dn_{x} = n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT}} dv_{x}$.
Из этого числа молекул только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного $v_{x}$. Число этих молекул равно:
$dn_{x}^{ \prime} = v_{x}n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$. (1)
Полное число молекул, которые за единицу времени достигнут единицы поверхности сосуда, равно:
$N = \int_{0}^{ \infty} v_{x}n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$. (1)
Введем обозначение: $\frac{m}{2kT } = \alpha$. Тогда формула (1) перепишется так:
$N = \frac{n_{0} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \infty} \sqrt{ \alpha} v_{x} e^{ - \alpha v_{x}^{2} } dv_{x} = \frac{n_{0} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \infty} \left ( \frac{1}{- 2 \sqrt{ \alpha} } \right ) d \left ( e^{ - \alpha v_{x}^{2} } \right ) = \frac{n_{0} }{2 \sqrt{ \pi} } \sqrt{ \frac{2kT}{m} }$.
Учтя, что средняя скорость молекул
$\bar{v} = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m} }$,
получаем:
$N= \frac{n_{0} \bar{v} }{4}$.
Концентрация молекул идеального газа $n_{0}$, температура газа $T$, масса молекул $m$. Газ находится в тепловом равновесии. Определите число молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу поверхности сосуда.
Решение:
О выбранную единицу поверхности сосуда ударяются те молекулы, проекции скорости которых на направление, перпендикулярное к поверхности, не равны нулю. Пусть ось $x$ перпендикулярна к рассматриваемой поверхности. Число молекул $dn_{x}$ в единице объема, проекция скорости которых заключена в интервале между $v_{x}$ и $v_{x} + dv_{x}$, равно:
$dn_{x} = n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT}} dv_{x}$.
Из этого числа молекул только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного $v_{x}$. Число этих молекул равно:
$dn_{x}^{ \prime} = v_{x}n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$. (1)
Полное число молекул, которые за единицу времени достигнут единицы поверхности сосуда, равно:
$N = \int_{0}^{ \infty} v_{x}n_{0} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{1/2} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$. (1)
Введем обозначение: $\frac{m}{2kT } = \alpha$. Тогда формула (1) перепишется так:
$N = \frac{n_{0} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \infty} \sqrt{ \alpha} v_{x} e^{ - \alpha v_{x}^{2} } dv_{x} = \frac{n_{0} }{ \sqrt{ \pi} } \int_{0}^{ \infty} \left ( \frac{1}{- 2 \sqrt{ \alpha} } \right ) d \left ( e^{ - \alpha v_{x}^{2} } \right ) = \frac{n_{0} }{2 \sqrt{ \pi} } \sqrt{ \frac{2kT}{m} }$.
Учтя, что средняя скорость молекул
$\bar{v} = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m} }$,
получаем:
$N= \frac{n_{0} \bar{v} }{4}$.
