Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11891
2019-12-01 
По нити, натянутой в трубке с высоким вакуумом, идет электрический ток. При этом происходит эмиссия электронов. Вероятность испускания электронов нитью в течение некоторого малого промежутка времени $\Delta t$ равна $p$.
Определите: средний заряд $\bar{Q}$, испущенный нитью за время $t$, дисперсию заряда ($\Delta \bar{Q}^{2}$) за это же время, отношение дисперсии тока ($\Delta I^{2}$) к среднему току $I$, стандартное отклонение тока.
Решение:
Средний заряд $Q$, испущенный нитью, зависит от заряда электрона $e$ и среднего числа электронов, покинувших нить за время $t$:
$\bar{Q} = e \bar{n}$.
С хорошим приближением можно считать, что испускание одного электрона никак не влияет на вероятность испускания других электронов, т. е. что испускание электронов - события статистически независимые. Вероятность испускания одного электрона за малый интервал времени $\Delta t$ очень мала ($p \ll 1$). Вероятность испускания одновременно двух электронов тем более мала: она равна $p^{2}$. Следовательно, этими событиями можно пренебречь. Тогда вероятность испускания электрона в $n$ случаях из $N$ независимых испытаний описывается биноминальным законом распределения.
Полное число независимых событий (испускание электрона или неиспускание электрона) равно числу интервалов времени $\Delta t$, т. е. $N = \frac{t}{ \Delta t}$. Тогда, по определению, среднее число электронов, покинувших нить, определится формулой:
$\bar{n} = Np = p \frac{t }{ \Delta t}$.
и, следовательно, средний заряд - формулой:
$\bar{Q} = ep \frac{t}{ \Delta t}$. (1)
Дисперсия заряда зависит от дисперсии числа осуществившихся событий испускания электрона с вероятностью $p$ и неиспускания электрона с вероятностью $q = 1 - p$:
$( \bar{ \Delta Q})^{2} = \bar{Q^{2}} - \bar{Q}^{2} = e^{2} ( \bar{n^{2}} - \bar{n}^{2}) = e^{2}Npq$.
Так как $p \ll 1$, то можно принять $q = 1$. Поэтому
$( \bar{ \Delta Q})^{2} = e^{2} \frac{t}{ \Delta t}p$. (2)
Найдем отдельно средний ток $I$ и дисперсию тока $\bar{I^{2}}$. Исходя из определения тока и используя (1), получаем для значения среднего тока выражение
$I = \frac{ \bar{Q}}{t} = \frac{eNp}{t} = \frac{eN}{ \Delta t}$. (3)
Учитывая найденную дисперсию заряда (2), получаем для дисперсии тока:
$\bar{ \Delta I^{2}} = \frac{1}{t^{2} } ( \bar{Q^{2}} - \bar{Q}^{2}) = \frac{e^{2}p }{ \Delta t \cdot t}$. (4)
Разделив (4) на (3), приходим к следующему результату:
$\frac{ \bar{ \Delta I}^{2}}{I} = \frac{e}{t}$.
Стандартное отклонение тока, по определению, равно:
$\Delta I = \sqrt{ \bar{ \Delta I }^{2} }$.
Используя (4) и (3), находим, что
$\Delta I = \sqrt{ \frac{eI}{t} }$.
Это значит, что ток испытывает тем большее отклонение от среднего значения (флуктуацию), чем меньше полное число электронов, участвующих в эмиссии.
По нити, натянутой в трубке с высоким вакуумом, идет электрический ток. При этом происходит эмиссия электронов. Вероятность испускания электронов нитью в течение некоторого малого промежутка времени $\Delta t$ равна $p$.
Определите: средний заряд $\bar{Q}$, испущенный нитью за время $t$, дисперсию заряда ($\Delta \bar{Q}^{2}$) за это же время, отношение дисперсии тока ($\Delta I^{2}$) к среднему току $I$, стандартное отклонение тока.
Решение:
Средний заряд $Q$, испущенный нитью, зависит от заряда электрона $e$ и среднего числа электронов, покинувших нить за время $t$:
$\bar{Q} = e \bar{n}$.
С хорошим приближением можно считать, что испускание одного электрона никак не влияет на вероятность испускания других электронов, т. е. что испускание электронов - события статистически независимые. Вероятность испускания одного электрона за малый интервал времени $\Delta t$ очень мала ($p \ll 1$). Вероятность испускания одновременно двух электронов тем более мала: она равна $p^{2}$. Следовательно, этими событиями можно пренебречь. Тогда вероятность испускания электрона в $n$ случаях из $N$ независимых испытаний описывается биноминальным законом распределения.
Полное число независимых событий (испускание электрона или неиспускание электрона) равно числу интервалов времени $\Delta t$, т. е. $N = \frac{t}{ \Delta t}$. Тогда, по определению, среднее число электронов, покинувших нить, определится формулой:
$\bar{n} = Np = p \frac{t }{ \Delta t}$.
и, следовательно, средний заряд - формулой:
$\bar{Q} = ep \frac{t}{ \Delta t}$. (1)
Дисперсия заряда зависит от дисперсии числа осуществившихся событий испускания электрона с вероятностью $p$ и неиспускания электрона с вероятностью $q = 1 - p$:
$( \bar{ \Delta Q})^{2} = \bar{Q^{2}} - \bar{Q}^{2} = e^{2} ( \bar{n^{2}} - \bar{n}^{2}) = e^{2}Npq$.
Так как $p \ll 1$, то можно принять $q = 1$. Поэтому
$( \bar{ \Delta Q})^{2} = e^{2} \frac{t}{ \Delta t}p$. (2)
Найдем отдельно средний ток $I$ и дисперсию тока $\bar{I^{2}}$. Исходя из определения тока и используя (1), получаем для значения среднего тока выражение
$I = \frac{ \bar{Q}}{t} = \frac{eNp}{t} = \frac{eN}{ \Delta t}$. (3)
Учитывая найденную дисперсию заряда (2), получаем для дисперсии тока:
$\bar{ \Delta I^{2}} = \frac{1}{t^{2} } ( \bar{Q^{2}} - \bar{Q}^{2}) = \frac{e^{2}p }{ \Delta t \cdot t}$. (4)
Разделив (4) на (3), приходим к следующему результату:
$\frac{ \bar{ \Delta I}^{2}}{I} = \frac{e}{t}$.
Стандартное отклонение тока, по определению, равно:
$\Delta I = \sqrt{ \bar{ \Delta I }^{2} }$.
Используя (4) и (3), находим, что
$\Delta I = \sqrt{ \frac{eI}{t} }$.
Это значит, что ток испытывает тем большее отклонение от среднего значения (флуктуацию), чем меньше полное число электронов, участвующих в эмиссии.
