Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1189
2016-10-20 
В установленной вертикально и-образной трубке площадью $S$ с внутренним объёмом $V_{0}$ находится жидкость плотностью $\rho$. Колена трубки одинаковы по высоте, одно из них открыто в атмосферу, а второе герметично соединено с сосудом объёмом $V_{0}$, внутри которого находится идеальный одноатомный газ. Жидкость заполняет всю $U$-образную трубку (см. рисунок). Найдите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу в сосуде для того, чтобы медленно
вытеснить из трубки половину жидкости. Атмосферное давление постоянно и равно $p_{0}$. Давлением паров жидкости, поверхностным натяжением и потерями тепла пренебречь. Радиус полукруглого участка трубки, соединяющего её колена, считайте много меньшим высоты трубки.
Решение:
Для того, чтобы жидкость вытеснялась из трубки медленно, газ также нужно нагревать очень медленно, регулируя количество подводимого тепла так, чтобы вытекающая жидкость в течение всего процесса не приобретала кинетическую энергию. При этом всё сообщаемое газу тепло будет уходить на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при расширении.
В начальном состоянии газ в сосуде находится под атмосферным давлением $p_{0}$ и имеет некоторую температуру $T_{0}$. Пренебрежём объёмом и высотой столба жидкости, находящейся в полукруглом участке трубки. Тогда длина трубки равна $V_{0}/S$. Следовательно, в конечном состоянии объём газа увеличится до величины $V_{1} = 3V_{0}/2$, его давление станет равно $p_{1} = p_{0} + \rho g \frac{V_{0}/S}{2}$, а температура изменится до некоторой величины $T$. Запишем уравнение Клапейрона для начального и конечного состояний газа:
$\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} = \frac{ \left ( p_{0} + \frac{\rho g V_{0}}{2S} \right ) \cdot \frac{3V_{0}}{2}}{T}$.
Отсюда, с учётом уравнения состояния $p_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$, получим:
$T - T_{0} = \frac{T_{0}}{p_{0}V_{0}} \left ( \frac{3p_{0}V_{0}}{2} + \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{4S} - p_{0}V_{0} \right ) = \frac{1}{ \nu R} \left ( \frac{p_{0}V_{0}}{2} + \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{4S} \right )$.
Таким образом, в течение процесса температура газа увеличится, и его внутренняя энергия возрастёт на величину
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R (T - T_{0}) = \frac{3p_{0}V_{0}}{4} +\frac{9 \rho g V_{0}^{2}}{8S}$.
Найдём теперь работу, совершаемую газом при расширении. Она пойдёт на увеличение потенциальной энергии жидкости и на совершение работы против силы атмосферного давления. Примем уровень основания трубки за начало отсчёта потенциальной энергии. Тогда в начальном состоянии потенциальная энергия находящейся в трубке жидкости равна
$E_{1} = \rho V_{0} g \cdot \frac{V_{0}}{4S}$.
После того, как половина жидкости вытечет из трубки (а это означает, что она будет вытеснена на высоту $\frac{V_{0}}{2S}$), потенциальная энергия жидкости
станет равна
$E_{2} = \frac{ \rho V_{0}}{2} g \frac{V_{0}/S}{4} + \frac{ \rho V_{0}}{2} g \frac{V_{0}/S}{2} = \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{8S}$.
Работа против постоянной силы атмосферного давления, совершённая при вытеснении жидкости из трубки, равна $A_{0} = p_{0} \frac{V_{0}}{2}$. Следовательно, полная работа, совершаемая газом при расширении, равна
$\Delta A = E_{2} - E_{1} + A_{0} = \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{8S} - \frac{ \rho g V_{0}^{2}}{4S} + \frac{p_{0}V_{0}}{2} = \frac{ \rho g V_{0}^{2}}{8S} + \frac{p_{0}V_{0}}{2}$.
Искомое количество теплоты теперь можно определить при помощи первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{5}{4}V_{0} \left ( p_{0} + \frac{ \rho g V_{0}}{S} \right )$.
В установленной вертикально и-образной трубке площадью $S$ с внутренним объёмом $V_{0}$ находится жидкость плотностью $\rho$. Колена трубки одинаковы по высоте, одно из них открыто в атмосферу, а второе герметично соединено с сосудом объёмом $V_{0}$, внутри которого находится идеальный одноатомный газ. Жидкость заполняет всю $U$-образную трубку (см. рисунок). Найдите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу в сосуде для того, чтобы медленно
вытеснить из трубки половину жидкости. Атмосферное давление постоянно и равно $p_{0}$. Давлением паров жидкости, поверхностным натяжением и потерями тепла пренебречь. Радиус полукруглого участка трубки, соединяющего её колена, считайте много меньшим высоты трубки.
Решение:
Для того, чтобы жидкость вытеснялась из трубки медленно, газ также нужно нагревать очень медленно, регулируя количество подводимого тепла так, чтобы вытекающая жидкость в течение всего процесса не приобретала кинетическую энергию. При этом всё сообщаемое газу тепло будет уходить на изменение его внутренней энергии и на совершение им работы при расширении.
В начальном состоянии газ в сосуде находится под атмосферным давлением $p_{0}$ и имеет некоторую температуру $T_{0}$. Пренебрежём объёмом и высотой столба жидкости, находящейся в полукруглом участке трубки. Тогда длина трубки равна $V_{0}/S$. Следовательно, в конечном состоянии объём газа увеличится до величины $V_{1} = 3V_{0}/2$, его давление станет равно $p_{1} = p_{0} + \rho g \frac{V_{0}/S}{2}$, а температура изменится до некоторой величины $T$. Запишем уравнение Клапейрона для начального и конечного состояний газа:
$\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}} = \frac{ \left ( p_{0} + \frac{\rho g V_{0}}{2S} \right ) \cdot \frac{3V_{0}}{2}}{T}$.
Отсюда, с учётом уравнения состояния $p_{0}V_{0} = \nu RT_{0}$, получим:
$T - T_{0} = \frac{T_{0}}{p_{0}V_{0}} \left ( \frac{3p_{0}V_{0}}{2} + \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{4S} - p_{0}V_{0} \right ) = \frac{1}{ \nu R} \left ( \frac{p_{0}V_{0}}{2} + \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{4S} \right )$.
Таким образом, в течение процесса температура газа увеличится, и его внутренняя энергия возрастёт на величину
$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R (T - T_{0}) = \frac{3p_{0}V_{0}}{4} +\frac{9 \rho g V_{0}^{2}}{8S}$.
Найдём теперь работу, совершаемую газом при расширении. Она пойдёт на увеличение потенциальной энергии жидкости и на совершение работы против силы атмосферного давления. Примем уровень основания трубки за начало отсчёта потенциальной энергии. Тогда в начальном состоянии потенциальная энергия находящейся в трубке жидкости равна
$E_{1} = \rho V_{0} g \cdot \frac{V_{0}}{4S}$.
После того, как половина жидкости вытечет из трубки (а это означает, что она будет вытеснена на высоту $\frac{V_{0}}{2S}$), потенциальная энергия жидкости
станет равна
$E_{2} = \frac{ \rho V_{0}}{2} g \frac{V_{0}/S}{4} + \frac{ \rho V_{0}}{2} g \frac{V_{0}/S}{2} = \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{8S}$.
Работа против постоянной силы атмосферного давления, совершённая при вытеснении жидкости из трубки, равна $A_{0} = p_{0} \frac{V_{0}}{2}$. Следовательно, полная работа, совершаемая газом при расширении, равна
$\Delta A = E_{2} - E_{1} + A_{0} = \frac{3 \rho g V_{0}^{2}}{8S} - \frac{ \rho g V_{0}^{2}}{4S} + \frac{p_{0}V_{0}}{2} = \frac{ \rho g V_{0}^{2}}{8S} + \frac{p_{0}V_{0}}{2}$.
Искомое количество теплоты теперь можно определить при помощи первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{5}{4}V_{0} \left ( p_{0} + \frac{ \rho g V_{0}}{S} \right )$.
