Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11877
2019-11-30 
На тело массы $m$, лежащее на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения $k$, в момент времени $t = 0$ начала действовать под углом $\alpha$ к горизонту сила, пропорциональная времени. Определить скорость $v$ движения тела через $\tau$ секунд.
Решение:
Считая тело материальной точкой, рассмотрим действующие на него силы (рис.) Это - сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$, сила $f = At$ (удобнее говорить о ее соcтавляющих $f_{1} = At \cos \alpha$ и $f_{2} = At \sin \alpha$) и сила трения $f_{тр} = kN$. Горизонтальное ускорение телу может сообщить только сила $f_{1}$, но для этого она должна стать больше силы трения $f_{тр} = kN = k (mg - At \sin \alpha)$, которая тоже зависит от времени $t$.
Построим графики зависимости действующих на тело горизонтальных сил от времени $t$ (рис.).
От 0 до момента $t_{1}$ тело еще не движется, так как сила трения покоя уравновешивает силу $f_{1}$, то есть
$At_{1} \cos \alpha = kmg - kAt_{1} \sin \alpha$,
откуда
$f_{1} = \frac{kmg}{A ( \cos \alpha + k \sin \alpha) }$.
Существует и вторая граница времени для указанного в задаче движения. В этот момент сила реакции опоры обращается в нуль, и тело поднимается
$N = mg - At_{2} \sin \alpha = 0$
и
$t_{2} = \frac{mg}{A \sin \alpha}$.
Таким образом, движение тела по поверхности возможно для времени $\tau$, заключенного в интервале: $t_{1} < \tau < t_{2}$.
Заметим, что если $kA \sin \alpha \geq A \cos \alpha$, то интервал $t_{2} - t_{1}$ становится уже, но все рассуждения остаются в силе.
Запишем уравнение движения для момента времени $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ ($t^{ \prime}$ - текущее время, отсчитываемое от момента $t_{1}$)
$A(t_{1} + t^{ \prime}) \cos \alpha + kA (t_{1} + t^{ \prime}) \sin \alpha - kmg \cdot ma$,
где $a$ - ускорение тела.
Подставив выражение для $t_{1}$, найдем
$a = \frac{A \cos \alpha + kA \sin \alpha}{m} t^{ \prime}$.
Нарисуем график зависимости $a(t)$ (рис.). Искомая скорость $v$ в момент $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ численно равна площади выделенного треугольника:
$v = \frac{a( \tau - t_{1})}{2} = \frac{(A \cos \alpha + kA \sin \alpha )( \tau - t_{1} )^{2} }{2m} = \frac{( \tau A ( \cos \alpha + k \sin \alpha) - kmg )^{2} }{2mA ( \cos \alpha + k \sin \alpha) }$.
Если изменить направление действующей силы, как показано на рисунке, то сила реакции опоры $N = mg + At \sin \alpha$ будет непрерывно возрастать (как и сила трения $f_{тр}$).
Время $t_{1}$, после которого начнется движение тела, находим из условия
$At_{1} \cos \alpha - kmg - kAt_{1} \sin \alpha = 0$;
тогда
$t_{1} = \frac{kmg}{A \cos \alpha - kA \sin \alpha}$.
Однако в этом случае положительное значение $t_{1}$ возможно, только если $A \cos \alpha > kA \sin \alpha$. При $A \cos \alpha \leq kA \sin \alpha$ время $t_{1} < 0$, и движение никогда не начнется.
Увеличение компоненты $f_{2}$ может привести к разрушению тела (это может произойти и до наступления времени $t_{1}$). Если же тело не разрушается и $f_{1}$ имеет конечное значение, то для скорости $v$ в момент $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ получим значение:
$v = \frac{( \tau A ( \cos \alpha - k \sin \alpha) - kmg )^{2} }{2mA ( \cos \alpha - k \sin \alpha)}$.
На тело массы $m$, лежащее на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения $k$, в момент времени $t = 0$ начала действовать под углом $\alpha$ к горизонту сила, пропорциональная времени. Определить скорость $v$ движения тела через $\tau$ секунд.
Решение:
Считая тело материальной точкой, рассмотрим действующие на него силы (рис.) Это - сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$, сила $f = At$ (удобнее говорить о ее соcтавляющих $f_{1} = At \cos \alpha$ и $f_{2} = At \sin \alpha$) и сила трения $f_{тр} = kN$. Горизонтальное ускорение телу может сообщить только сила $f_{1}$, но для этого она должна стать больше силы трения $f_{тр} = kN = k (mg - At \sin \alpha)$, которая тоже зависит от времени $t$.
Построим графики зависимости действующих на тело горизонтальных сил от времени $t$ (рис.).
От 0 до момента $t_{1}$ тело еще не движется, так как сила трения покоя уравновешивает силу $f_{1}$, то есть
$At_{1} \cos \alpha = kmg - kAt_{1} \sin \alpha$,
откуда
$f_{1} = \frac{kmg}{A ( \cos \alpha + k \sin \alpha) }$.
Существует и вторая граница времени для указанного в задаче движения. В этот момент сила реакции опоры обращается в нуль, и тело поднимается
$N = mg - At_{2} \sin \alpha = 0$
и
$t_{2} = \frac{mg}{A \sin \alpha}$.
Таким образом, движение тела по поверхности возможно для времени $\tau$, заключенного в интервале: $t_{1} < \tau < t_{2}$.
Заметим, что если $kA \sin \alpha \geq A \cos \alpha$, то интервал $t_{2} - t_{1}$ становится уже, но все рассуждения остаются в силе.
Запишем уравнение движения для момента времени $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ ($t^{ \prime}$ - текущее время, отсчитываемое от момента $t_{1}$)
$A(t_{1} + t^{ \prime}) \cos \alpha + kA (t_{1} + t^{ \prime}) \sin \alpha - kmg \cdot ma$,
где $a$ - ускорение тела.
Подставив выражение для $t_{1}$, найдем
$a = \frac{A \cos \alpha + kA \sin \alpha}{m} t^{ \prime}$.
Нарисуем график зависимости $a(t)$ (рис.). Искомая скорость $v$ в момент $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ численно равна площади выделенного треугольника:
$v = \frac{a( \tau - t_{1})}{2} = \frac{(A \cos \alpha + kA \sin \alpha )( \tau - t_{1} )^{2} }{2m} = \frac{( \tau A ( \cos \alpha + k \sin \alpha) - kmg )^{2} }{2mA ( \cos \alpha + k \sin \alpha) }$.
Если изменить направление действующей силы, как показано на рисунке, то сила реакции опоры $N = mg + At \sin \alpha$ будет непрерывно возрастать (как и сила трения $f_{тр}$).
Время $t_{1}$, после которого начнется движение тела, находим из условия
$At_{1} \cos \alpha - kmg - kAt_{1} \sin \alpha = 0$;
тогда
$t_{1} = \frac{kmg}{A \cos \alpha - kA \sin \alpha}$.
Однако в этом случае положительное значение $t_{1}$ возможно, только если $A \cos \alpha > kA \sin \alpha$. При $A \cos \alpha \leq kA \sin \alpha$ время $t_{1} < 0$, и движение никогда не начнется.
Увеличение компоненты $f_{2}$ может привести к разрушению тела (это может произойти и до наступления времени $t_{1}$). Если же тело не разрушается и $f_{1}$ имеет конечное значение, то для скорости $v$ в момент $\tau = t_{1} + t^{ \prime}$ получим значение:
$v = \frac{( \tau A ( \cos \alpha - k \sin \alpha) - kmg )^{2} }{2mA ( \cos \alpha - k \sin \alpha)}$.
