Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11870
2019-11-30 
Заряд $q = 10^{-8} к$ равномерно распределен по дуге окружности радиуса $R = 1 см$ с углом раствора а) $\pi$ радиан, б) $2/3 \pi$ радиан. Определите напряженность электрического поля в центре окружности.
Решение:
а) Разобьем дугу на $n$ равных частей, каждая из которых имеет заряд $q/n$. При достаточно большом $n$ ($\frac{ \pi R}{n} \ll R$) эти заряды можно считать точечными. Каждый из зарядов создает в центре окружности поле с напряженностью $\Delta \vec{E}_{i}$, равной по величине
$\Delta E_{i} = k \frac{q}{nR^{2} }$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } = 9 \cdot 10^{9} \frac{нм^{2}}{к^{2}}$. Направления векторов $\Delta \vec{E}_{i}$ показаны на рисунке а. Чтобы найти напряженность суммарного поля $\vec{E} = \sum_{i = 1}^{n} \Delta \vec{E}_{i}$, будем последовательно складывать эти векторы, приставляя начало каждого из векторов к концу предыдущего (рис. б). Точность определения величины $\vec{E}$ тем выше, чем больше $n$.
Легко заметить, что при достаточно большом $n$ ломаную, которую образуют при сложении векторы $\Delta \vec{E}_{i}$, можно заменить полуокружностью, причем величина вектора $\vec{E}$ численно равна ее диаметру. Длина полуокружности $l$ равна
$l = n \Delta E_{i} = n \frac{kq}{nR^{2} } = \frac{kq}{R^{2} }$,
С другой стороны, $l = \frac{ \pi E}{2}$. Отсюда
$E = \frac{2l}{ \pi} = \frac{2kq}{ \pi R^{2} } = 5,7 \cdot 10^{5} в/м$.
б) Задача для дуги с произвольным углом раствора $\phi$ решается аналогично. В этом случае вектор $\vec{E}$ является хордой дуги окружности (рис. б). Длина дуги $l = n \Delta E_{i}$, центральный угол - $\phi$ (рад) ($\phi$ - максимальный угол между векторами $\Delta \vec{E}_{i}$).
Обозначим радиус окружности $r$ и выразим через него длину дуги $l$ и хорды $E$:
$l = r \phi, E = 2r \sin \frac{ \phi}{2}$.
Но $l = n \Delta E_{i} = \frac{kq}{R^{2} }$, следовательно,
$E = 2 \frac{kq}{ \pi R^{2} } \sin \frac{ \phi}{2}$.
При $\phi = - \frac{2}{3} \pi$ получим
$E = 7,4 \cdot 10^{5} в/м$.
Заряд $q = 10^{-8} к$ равномерно распределен по дуге окружности радиуса $R = 1 см$ с углом раствора а) $\pi$ радиан, б) $2/3 \pi$ радиан. Определите напряженность электрического поля в центре окружности.
Решение:
а) Разобьем дугу на $n$ равных частей, каждая из которых имеет заряд $q/n$. При достаточно большом $n$ ($\frac{ \pi R}{n} \ll R$) эти заряды можно считать точечными. Каждый из зарядов создает в центре окружности поле с напряженностью $\Delta \vec{E}_{i}$, равной по величине
$\Delta E_{i} = k \frac{q}{nR^{2} }$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } = 9 \cdot 10^{9} \frac{нм^{2}}{к^{2}}$. Направления векторов $\Delta \vec{E}_{i}$ показаны на рисунке а. Чтобы найти напряженность суммарного поля $\vec{E} = \sum_{i = 1}^{n} \Delta \vec{E}_{i}$, будем последовательно складывать эти векторы, приставляя начало каждого из векторов к концу предыдущего (рис. б). Точность определения величины $\vec{E}$ тем выше, чем больше $n$.
Легко заметить, что при достаточно большом $n$ ломаную, которую образуют при сложении векторы $\Delta \vec{E}_{i}$, можно заменить полуокружностью, причем величина вектора $\vec{E}$ численно равна ее диаметру. Длина полуокружности $l$ равна
$l = n \Delta E_{i} = n \frac{kq}{nR^{2} } = \frac{kq}{R^{2} }$,
С другой стороны, $l = \frac{ \pi E}{2}$. Отсюда
$E = \frac{2l}{ \pi} = \frac{2kq}{ \pi R^{2} } = 5,7 \cdot 10^{5} в/м$.
б) Задача для дуги с произвольным углом раствора $\phi$ решается аналогично. В этом случае вектор $\vec{E}$ является хордой дуги окружности (рис. б). Длина дуги $l = n \Delta E_{i}$, центральный угол - $\phi$ (рад) ($\phi$ - максимальный угол между векторами $\Delta \vec{E}_{i}$).
Обозначим радиус окружности $r$ и выразим через него длину дуги $l$ и хорды $E$:
$l = r \phi, E = 2r \sin \frac{ \phi}{2}$.
Но $l = n \Delta E_{i} = \frac{kq}{R^{2} }$, следовательно,
$E = 2 \frac{kq}{ \pi R^{2} } \sin \frac{ \phi}{2}$.
При $\phi = - \frac{2}{3} \pi$ получим
$E = 7,4 \cdot 10^{5} в/м$.
