Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1187
2016-10-20 
Один моль идеального одноатомного газа последовательно участвует в двух процессах: 1-2 и 2-3 (см. рисунок). В первом из них давление $p$ пропорционально температуре $T$, во втором $p$ пропорционально $\sqrt{T}$. Определите теплоёмкость газа в каждом из двух процессов.
Решение:
В процессе 1-2 по условию $p \sim T$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что $V = RT/p = const$. Таким образом, процесс 1-2 является изохорным, и для одного моля идеального одноатомного газа теплоёмкость $C_{V} = 3R/2$.
В процессе 2-3 по условию $p \sim \sqrt{T}$. Поэтому $V = RT/p \sim \sqrt{T}$, и таким образом, $p \sim V$. Изобразив этот процесс на $pV$-диаграмме (см. рис.), заметим, что газ в нём поглощает тепло. Это тепло идёт на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершение им работы $\Delta A$. Обозначим давления и объёмы в состояниях 2 и 3 через $(p_{2}, V_{2})$ и $(p_{3}, V_{3})$, соответственно. Тогда количество теплоты $\Delta Q$, которое поглощает газ в процессе 2-3, можно найти из первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2}R(T_{3} - T_{2}) + \frac{1}{2}(p_{3} + p_{2})(V_{3} - V_{2}) = \frac{3}{2} R(T_{3}-T_{2}) + \frac{1}{2} (RT_{3} - RT_{2} +p_{2}V_{3}-p_{3}V_{2})$.
При преобразовании выражения в скобках учтено, что, в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона, $p_{2}V_{2} = RT_{2}$ и $p_{3}V_{3} = RT_{3}$.
Поскольку изображающая процесс прямая проходит через начало координат диаграммы, то $p_{2}/V_{2} = p_{3}/V_{3}$. С учётом этого выражение для количества теплоты принимает вид: $\Delta Q = 2R(T_{3} — T_{2})$. Таким образом, мы доказали, что количество теплоты, сообщённой газу в данном процессе, пропорционально разности температур, которые газ имеет в начальном и конечном состояниях, и коэффициент пропорциональности равен $2R$. Следовательно, молярная теплоёмкость газа в процессе 2-3 постоянна и равна $2R$.
Один моль идеального одноатомного газа последовательно участвует в двух процессах: 1-2 и 2-3 (см. рисунок). В первом из них давление $p$ пропорционально температуре $T$, во втором $p$ пропорционально $\sqrt{T}$. Определите теплоёмкость газа в каждом из двух процессов.
Решение:
В процессе 1-2 по условию $p \sim T$. Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что $V = RT/p = const$. Таким образом, процесс 1-2 является изохорным, и для одного моля идеального одноатомного газа теплоёмкость $C_{V} = 3R/2$.
В процессе 2-3 по условию $p \sim \sqrt{T}$. Поэтому $V = RT/p \sim \sqrt{T}$, и таким образом, $p \sim V$. Изобразив этот процесс на $pV$-диаграмме (см. рис.), заметим, что газ в нём поглощает тепло. Это тепло идёт на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершение им работы $\Delta A$. Обозначим давления и объёмы в состояниях 2 и 3 через $(p_{2}, V_{2})$ и $(p_{3}, V_{3})$, соответственно. Тогда количество теплоты $\Delta Q$, которое поглощает газ в процессе 2-3, можно найти из первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{3}{2}R(T_{3} - T_{2}) + \frac{1}{2}(p_{3} + p_{2})(V_{3} - V_{2}) = \frac{3}{2} R(T_{3}-T_{2}) + \frac{1}{2} (RT_{3} - RT_{2} +p_{2}V_{3}-p_{3}V_{2})$.
При преобразовании выражения в скобках учтено, что, в соответствии с уравнением Менделеева — Клапейрона, $p_{2}V_{2} = RT_{2}$ и $p_{3}V_{3} = RT_{3}$.
Поскольку изображающая процесс прямая проходит через начало координат диаграммы, то $p_{2}/V_{2} = p_{3}/V_{3}$. С учётом этого выражение для количества теплоты принимает вид: $\Delta Q = 2R(T_{3} — T_{2})$. Таким образом, мы доказали, что количество теплоты, сообщённой газу в данном процессе, пропорционально разности температур, которые газ имеет в начальном и конечном состояниях, и коэффициент пропорциональности равен $2R$. Следовательно, молярная теплоёмкость газа в процессе 2-3 постоянна и равна $2R$.
