Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11868
2019-11-30 
Тонкая металлическая пластинка площади $S$ залита слоем жидкого диэлектрика с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ так, что толщина этого слоя много меньше линейных размеров пластины. Что произойдет с жидкостью, если пластине сообщить электрический заряд $+Q$?
Решение:
Заряженная пластина создает электрическое поле, напряженность которого в вакуумe равна
$E_{0} = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
а в диэлектрике
$E = \frac{Q}{2 \epsilon_{0} \epsilon S}$.
Ослабление поля в диэлектрике связано с поляризацией диэлектрика. При этом в тонком слое около пластины появляется заряд $-Q_{1}$, а на свободной поверхности диэлектрика - заряд $+ Q_{1}$ (рис.). Внутри же диэлектрика отрицательные и положительные заряды диполей компенсируют друг друга. Наведенные заряды $Q_{1}$ и $- Q_{1}$ создают поле с напряженностью
$E_{1} = 2 \frac{Q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0}S }$,
направленное против поля пластины. Согласно принципу суперпозиции
$E = E_{0} - E_{1}$
или
$\frac{Q}{2 \epsilon_{0} \epsilon S } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } - \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0}S }$.
Из этого уравнение можно найти величину заряда $Q_{1}$:
$Q_{1} = Q \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon}$.
На заряд $Q_{1}$ свободной поверхности жидкости действют две электрические силы: сила притяжения к заряду $-Q_{1}$, равная
$F_{1} = Q_{1} \frac{1}{2} E_{1} = Q_{1} \frac{Q_{1} }{2 \epsilon_{0} S } = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \left ( \frac{ \epsilon - 1}{2 \epsilon} \right )^{2}$,
и сила отталкивания от заряда пластины $Q$, равная
$F_{2} = Q_{1} E_{0} = Q \frac{ \epsilon - 1}{2 \epsilon} \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \left ( \frac{ \epsilon - 1}{ 2 \epsilon } \right )$.
Силы $F_{1}$ и $F_{2}$ направлены в противоположные стороны.
Так как сила $F_{2}$ больше силы $F_{1}$ ($\epsilon > 1$), то жидкость над пластиной будет подниматься. Пусть высота поднятия жидкости в сосуде равна $h$. Запишем условие ранновесия поднявшейся жидкости:
$( \rho hS) = F_{2} - F_{1} = \frac{ Q^{2} ( \epsilon^{2} - 1 ) }{8 \epsilon_{0} S \epsilon^{2} }$.
Отсюда
$h = \frac{Q^{2} ( \epsilon^{2} - 1 ) }{8 \epsilon_{0}S^{2} \epsilon^{2} \rho g }$.
Тонкая металлическая пластинка площади $S$ залита слоем жидкого диэлектрика с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ так, что толщина этого слоя много меньше линейных размеров пластины. Что произойдет с жидкостью, если пластине сообщить электрический заряд $+Q$?
Решение:
Заряженная пластина создает электрическое поле, напряженность которого в вакуумe равна
$E_{0} = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
а в диэлектрике
$E = \frac{Q}{2 \epsilon_{0} \epsilon S}$.
Ослабление поля в диэлектрике связано с поляризацией диэлектрика. При этом в тонком слое около пластины появляется заряд $-Q_{1}$, а на свободной поверхности диэлектрика - заряд $+ Q_{1}$ (рис.). Внутри же диэлектрика отрицательные и положительные заряды диполей компенсируют друг друга. Наведенные заряды $Q_{1}$ и $- Q_{1}$ создают поле с напряженностью
$E_{1} = 2 \frac{Q_{1} }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0}S }$,
направленное против поля пластины. Согласно принципу суперпозиции
$E = E_{0} - E_{1}$
или
$\frac{Q}{2 \epsilon_{0} \epsilon S } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } - \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0}S }$.
Из этого уравнение можно найти величину заряда $Q_{1}$:
$Q_{1} = Q \frac{ \epsilon - 1}{ \epsilon}$.
На заряд $Q_{1}$ свободной поверхности жидкости действют две электрические силы: сила притяжения к заряду $-Q_{1}$, равная
$F_{1} = Q_{1} \frac{1}{2} E_{1} = Q_{1} \frac{Q_{1} }{2 \epsilon_{0} S } = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \left ( \frac{ \epsilon - 1}{2 \epsilon} \right )^{2}$,
и сила отталкивания от заряда пластины $Q$, равная
$F_{2} = Q_{1} E_{0} = Q \frac{ \epsilon - 1}{2 \epsilon} \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}S } \left ( \frac{ \epsilon - 1}{ 2 \epsilon } \right )$.
Силы $F_{1}$ и $F_{2}$ направлены в противоположные стороны.
Так как сила $F_{2}$ больше силы $F_{1}$ ($\epsilon > 1$), то жидкость над пластиной будет подниматься. Пусть высота поднятия жидкости в сосуде равна $h$. Запишем условие ранновесия поднявшейся жидкости:
$( \rho hS) = F_{2} - F_{1} = \frac{ Q^{2} ( \epsilon^{2} - 1 ) }{8 \epsilon_{0} S \epsilon^{2} }$.
Отсюда
$h = \frac{Q^{2} ( \epsilon^{2} - 1 ) }{8 \epsilon_{0}S^{2} \epsilon^{2} \rho g }$.
