Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11856
2019-11-30 
В однородном заряженном шаре радиуса $R$ имеется сферическая полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $a$ от центра шара (рис.). Найти напряженность электрического поля в различных точках полости, если плотность заряда равна $\sigma$.
Решение:
Будем считать, что сначала шар равномерно заряжен по всему объему, а потом часть его заряда, находящуюся внутри полости, удаляют.
Согласно принципу суперпозиции напряженность поля в любой точке однородного заряженного шара равна векторной сумме напряженности поля шара с полостью и напряженности поля заряда, удаленного из полости.
Рассмотрим произвольную точку А внутри полости. Ее расстояние от центра сферы обозначим $x$, а от центра полости - $y$. Напряженность $\vec{E}_{0}$ поля, созданного сплошным шаром, в этой точке направлена вдоль радиуса шара и равна по величине
$E_{0} = \frac{4}{3} \pi x \sigma$.
Аналогично напряженность $E_{2}$ поля, созданного зарядом, находившимся раньше в полости, направлена по радиусу полости и равна по величине
$E_{2} = \frac{4}{3} \pi y \sigma$.
Тогда напряженность $\vec{E}_{1}$ истинного поля, созданного шаром с полостью, из принципа суперпозиции равна
$\vec{E}_{1} = \vec{E}_{0} - \vec{E}_{2}$.
Рассмотрим треугольники $AOO^{ \prime}$ и $ABC$.
Углы 1 и 2 равны как накрестлежашие, и отношения прилежащих к ним сторон одинаковы:
$\frac{E_{2} }{y} = \frac{4}{3} \pi \sigma = \frac{E_{0} }{x}$.
Следовательно, треугольники подобны, из чего следует, что
$\frac{E_{1} }{a} = \frac{E_{0} }{x}$,
отсюда
$E_{1} = E_{0} \frac{a}{x} = \frac{4}{3} \pi x \sigma \frac{a}{x} = \frac{4}{3} \pi a \sigma$.
Из подобия треугольников следует также, что $\angle 3 = \angle 4$. Это означает, что вектор $\vec{E}_{1}$, направлен параллельно отрезку $OO^{ \prime}$.
Таким образом, мы нашли, что вектор напряженности поля в точке А полости направлен параллельно отрезку $OO^{ \prime}$, соединяющему центры сферы и полости. Абсолютная величина напряженности
$E_{1} = \frac{4}{3} \pi a \sigma$
не зависит от того, где именно в полости находится точка А. Это означает, что электрическое поле в полости однородно.
В однородном заряженном шаре радиуса $R$ имеется сферическая полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $a$ от центра шара (рис.). Найти напряженность электрического поля в различных точках полости, если плотность заряда равна $\sigma$.
Решение:
Будем считать, что сначала шар равномерно заряжен по всему объему, а потом часть его заряда, находящуюся внутри полости, удаляют.
Согласно принципу суперпозиции напряженность поля в любой точке однородного заряженного шара равна векторной сумме напряженности поля шара с полостью и напряженности поля заряда, удаленного из полости.
Рассмотрим произвольную точку А внутри полости. Ее расстояние от центра сферы обозначим $x$, а от центра полости - $y$. Напряженность $\vec{E}_{0}$ поля, созданного сплошным шаром, в этой точке направлена вдоль радиуса шара и равна по величине
$E_{0} = \frac{4}{3} \pi x \sigma$.
Аналогично напряженность $E_{2}$ поля, созданного зарядом, находившимся раньше в полости, направлена по радиусу полости и равна по величине
$E_{2} = \frac{4}{3} \pi y \sigma$.
Тогда напряженность $\vec{E}_{1}$ истинного поля, созданного шаром с полостью, из принципа суперпозиции равна
$\vec{E}_{1} = \vec{E}_{0} - \vec{E}_{2}$.
Рассмотрим треугольники $AOO^{ \prime}$ и $ABC$.
Углы 1 и 2 равны как накрестлежашие, и отношения прилежащих к ним сторон одинаковы:
$\frac{E_{2} }{y} = \frac{4}{3} \pi \sigma = \frac{E_{0} }{x}$.
Следовательно, треугольники подобны, из чего следует, что
$\frac{E_{1} }{a} = \frac{E_{0} }{x}$,
отсюда
$E_{1} = E_{0} \frac{a}{x} = \frac{4}{3} \pi x \sigma \frac{a}{x} = \frac{4}{3} \pi a \sigma$.
Из подобия треугольников следует также, что $\angle 3 = \angle 4$. Это означает, что вектор $\vec{E}_{1}$, направлен параллельно отрезку $OO^{ \prime}$.
Таким образом, мы нашли, что вектор напряженности поля в точке А полости направлен параллельно отрезку $OO^{ \prime}$, соединяющему центры сферы и полости. Абсолютная величина напряженности
$E_{1} = \frac{4}{3} \pi a \sigma$
не зависит от того, где именно в полости находится точка А. Это означает, что электрическое поле в полости однородно.
