Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11853
2019-11-30 
В расположенном горизонтально цилиндре с одной стороны от закрепленного поршня наxoдится 1 моль идеального газа. В другой части цилиндра - вакуум. Пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра (рис.), находится в недеформированном состоянии. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды.
Поршень освобождают, и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличится вдвое. Как изменится температура газа и его давление? Теплоемкости цилиндра nopшня и пружины пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики количество тепла $Q$, сообщенного газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершенной им работы $A$:
$Q = \Delta U + A$. (1)
Но в данном случае сосуд тсплоизолирован и $Q = 0$. Следовательно,
$\Delta U + A = 0$. (2)
То есть работа газа совершается за счет уменьшения его внутренней энергии, поэтому сразу можно сказать, что температура газа уменьшается.
Пусть вначале температура газа была $T_{1}$, давление $P_{1}$ и объем $V_{1}$, а после того, как поршень освободили и установилось равновесие, параметры газа стали соответственно $T_{2}, P_{2}$ и $V_{2}$, причем $V_{2} = 2V_{1}$ (по условию).
Изменение внутренней энергии идеального газа пропорционально изменению температуры газа и равно
$\Delta U = c_{V} (T_{2} - T_{1})$, (3)
где $c_{V}$ - теплоемкость 1 моля газа при постоянном объеме.
Далее, работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины:
$A = \frac{kx^{2} }{2}$ (4)
($x$ - смещение поршня). Выразим величину $\frac{kx^{2} }{2}$ через параметры газа.
Так как поршень после установления равновесия находится в покое, то сила упругости пружины $F = kx$ равна силе давления газа $P_{2}S$ ($S$ - площадь поверхности поршня):
$kx = P_{2}S$. (5)
Давление же газа связано с его температурой уравнением газового состояния. Для одного моля газа
$P_{2}V_{2} = RT_{2}$. (6)
Так как объем газа при его расширении увеличился вдвое, а изменение обьема газа равно $Sx$, то $V_{2} = 2Sx$, и, следовательно,
$2P_{2}Sx = RT_{2}$. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (7), можно записать
$kx = \frac{RT_{2}}{2x}$ (8)
$kx^{2} = \frac{RT_{2} }{2}$. (9)
Таким образом, работа, совершенная газом, равна
$A = \frac{kx^{2} }{2} = \frac{RT_{2} }{4}$. (10)
Подставим выражения (3) и (10) в равенство (2):
$c_{V}(T_{2} - T_{1} ) + \frac{1}{4} RT_{2} = 0$.
Отсюда
$T_{2} = T_{1} \frac{1}{1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } }$. (11)
Действительно, $T_{2}$ меньше $T_{1}$.
Теперь посмотрим как изменится давление газа. Согласно уравнению газового состояния первоначальное давление газа $P_{1}$, его объем $V_{1} = \frac{V_{2} }{2}$ и температура $T_{1}$ были связаны формулой
$P_{1} \frac{V_{2} }{2} = RT_{1}$.
Разделив это равенство на равенство (6), получим
$\frac{P_{1} }{P_{2} } = 2 \frac{T_{1} }{T_{2} } = 2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } \right )$,
$P_{2} = \frac{P_{1} }{2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } \right ) }$
Давление тоже уменьшилось.
В расположенном горизонтально цилиндре с одной стороны от закрепленного поршня наxoдится 1 моль идеального газа. В другой части цилиндра - вакуум. Пружина, расположенная между поршнем и стенкой цилиндра (рис.), находится в недеформированном состоянии. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды.
Поршень освобождают, и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличится вдвое. Как изменится температура газа и его давление? Теплоемкости цилиндра nopшня и пружины пренебрежимо малы.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики количество тепла $Q$, сообщенного газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta U$ и совершенной им работы $A$:
$Q = \Delta U + A$. (1)
Но в данном случае сосуд тсплоизолирован и $Q = 0$. Следовательно,
$\Delta U + A = 0$. (2)
То есть работа газа совершается за счет уменьшения его внутренней энергии, поэтому сразу можно сказать, что температура газа уменьшается.
Пусть вначале температура газа была $T_{1}$, давление $P_{1}$ и объем $V_{1}$, а после того, как поршень освободили и установилось равновесие, параметры газа стали соответственно $T_{2}, P_{2}$ и $V_{2}$, причем $V_{2} = 2V_{1}$ (по условию).
Изменение внутренней энергии идеального газа пропорционально изменению температуры газа и равно
$\Delta U = c_{V} (T_{2} - T_{1})$, (3)
где $c_{V}$ - теплоемкость 1 моля газа при постоянном объеме.
Далее, работа, совершенная газом, равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины:
$A = \frac{kx^{2} }{2}$ (4)
($x$ - смещение поршня). Выразим величину $\frac{kx^{2} }{2}$ через параметры газа.
Так как поршень после установления равновесия находится в покое, то сила упругости пружины $F = kx$ равна силе давления газа $P_{2}S$ ($S$ - площадь поверхности поршня):
$kx = P_{2}S$. (5)
Давление же газа связано с его температурой уравнением газового состояния. Для одного моля газа
$P_{2}V_{2} = RT_{2}$. (6)
Так как объем газа при его расширении увеличился вдвое, а изменение обьема газа равно $Sx$, то $V_{2} = 2Sx$, и, следовательно,
$2P_{2}Sx = RT_{2}$. (7)
Принимая во внимание соотношения (5) и (7), можно записать
$kx = \frac{RT_{2}}{2x}$ (8)
$kx^{2} = \frac{RT_{2} }{2}$. (9)
Таким образом, работа, совершенная газом, равна
$A = \frac{kx^{2} }{2} = \frac{RT_{2} }{4}$. (10)
Подставим выражения (3) и (10) в равенство (2):
$c_{V}(T_{2} - T_{1} ) + \frac{1}{4} RT_{2} = 0$.
Отсюда
$T_{2} = T_{1} \frac{1}{1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } }$. (11)
Действительно, $T_{2}$ меньше $T_{1}$.
Теперь посмотрим как изменится давление газа. Согласно уравнению газового состояния первоначальное давление газа $P_{1}$, его объем $V_{1} = \frac{V_{2} }{2}$ и температура $T_{1}$ были связаны формулой
$P_{1} \frac{V_{2} }{2} = RT_{1}$.
Разделив это равенство на равенство (6), получим
$\frac{P_{1} }{P_{2} } = 2 \frac{T_{1} }{T_{2} } = 2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } \right )$,
$P_{2} = \frac{P_{1} }{2 \left ( 1 + \frac{1}{4} \frac{R}{c_{V} } \right ) }$
Давление тоже уменьшилось.
