Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11848
2019-11-30 
Диск радиуса $R$ раскручивают вокруг вертикальной оси с помощью веревки длины $l$, которую тянут с постоянной силой $F$ (pис.). После этого диск соскакивает с оси и попадает на горизонтальную плоскость. Сколько оборотов сделает диск на плоскости до полной остановки, если его масса равна $M$, а коэффициент трения диска о плоскость равен $k$?
Решение:
Диск остановится, когда вся его кинетическая энергия перейдет в тепловую энергию благодаря трению о плоскость. Это означает, что условие остановки диска - равенство кинетический энергии диска работе силы трения.
Кинетическую энергию диска в момент его соприкосновения с плоскостью найти нетрудно - она равна работе силы $F$:
$W_{к} = Fl$. (1)
Найдем работу силы трения. Перемещение различных точек диска различно. Поэтому поступим следующим образом. Разобьем диск на тонкие полые цилиндры. Рассмотрим один из таких цилиндров, находящийся от центра диска на расстоянии $r$ (рис.). Толщина его $\Delta r \ll r$, поэтому можно считать, что при повороте диска на угол $\phi$ каждая точка выделенного цилиндра переместится на $\phi r$. Это означает, что сила трения $F_{тр}$ совершила работу
$\Delta A = F_{тр} \phi r = k \Delta m g \phi r$, (2)
где $\Delta m$ - масса выделенного цилиндра, которую можно выразить через массу диска $M$. Очевидно, orношение массы цилиндра к массе диска равно отношению их площадей
$\frac{ \Delta m}{M} = \frac{ \pi (r + \Delta t)^{2} - \pi r^{2} }{ \pi R^{2} }$.
Отсюда
$\Delta m = M \frac{2r \Delta r + ( \Delta r)^{2} }{ R^{2} }$.
Так как $\Delta r \ll r$, то $( \Delta r)^{2} \ll 2r \Delta r$ и
$\Delta m = 2M \frac{r \Delta r}{R^{2} }$.
Подставив это выражение для $\Delta m$ в формулу (2), получим
$\Delta A = \frac{2 \phi Mg kr^{2} \Delta r }{R^{2} }$.
Работа силы трения при повороте всего диска равна сумме таких выражений, относящихся к разным цилиндрам:
$A = \sum \frac{2 \phi Mg kr^{2} \Delta r }{R^{2} } = \frac{2 \phi Mgk \sum r^{2} \Delta r }{R^{2} }$. (3)
Сумму $\sum r^{2} \Delta r$ можно посчитать так. Рассмотрим график функции $y = r^{2}$ (рис.). Произведение $r^{2} \Delta r$ - это площадь выделенного на рисунке прямоугольника, а сумма $\sum r^{2} \Delta r$ равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из подобных прямоугольников. При $\Delta r \rightarrow 0$ ломаная линия стремится к параболе $y = r^{2}$. Поэтому выражение $\sum r^{2} \Delta r$г численно равно площади фигуры под графиком параболы. Для отыскания этой площади можно использовать метод, изложенный в статье Л Д. сентукидзе "Архимед и квадратура параболы" ("Квант" ? 7, 1971), и прийти к выражению
$\sum r^{2} \Delta r = \frac{1}{3} R^{3}$.
Подставим это выражение в формулу (3)
$A = \frac{2 \phi Mg k R^{3} }{3R^{2} } = \frac{2}{3} \phi Mg kR$.
Приравняем теперь эту величину кинетической энергии диска:
$\frac{2}{3} \phi MgkR = Fl$.
Отсюда найдем угол поворота диска
$\phi = \frac{3}{2} \frac{Fl}{MgkR}$.
Число оборотов диска равно
$n = \frac{ \phi}{ 2 \pi} = \frac{3}{4} \frac{Fl}{ \pi Mg kR}$.
Диск радиуса $R$ раскручивают вокруг вертикальной оси с помощью веревки длины $l$, которую тянут с постоянной силой $F$ (pис.). После этого диск соскакивает с оси и попадает на горизонтальную плоскость. Сколько оборотов сделает диск на плоскости до полной остановки, если его масса равна $M$, а коэффициент трения диска о плоскость равен $k$?
Решение:
Диск остановится, когда вся его кинетическая энергия перейдет в тепловую энергию благодаря трению о плоскость. Это означает, что условие остановки диска - равенство кинетический энергии диска работе силы трения.
Кинетическую энергию диска в момент его соприкосновения с плоскостью найти нетрудно - она равна работе силы $F$:
$W_{к} = Fl$. (1)
Найдем работу силы трения. Перемещение различных точек диска различно. Поэтому поступим следующим образом. Разобьем диск на тонкие полые цилиндры. Рассмотрим один из таких цилиндров, находящийся от центра диска на расстоянии $r$ (рис.). Толщина его $\Delta r \ll r$, поэтому можно считать, что при повороте диска на угол $\phi$ каждая точка выделенного цилиндра переместится на $\phi r$. Это означает, что сила трения $F_{тр}$ совершила работу
$\Delta A = F_{тр} \phi r = k \Delta m g \phi r$, (2)
где $\Delta m$ - масса выделенного цилиндра, которую можно выразить через массу диска $M$. Очевидно, orношение массы цилиндра к массе диска равно отношению их площадей
$\frac{ \Delta m}{M} = \frac{ \pi (r + \Delta t)^{2} - \pi r^{2} }{ \pi R^{2} }$.
Отсюда
$\Delta m = M \frac{2r \Delta r + ( \Delta r)^{2} }{ R^{2} }$.
Так как $\Delta r \ll r$, то $( \Delta r)^{2} \ll 2r \Delta r$ и
$\Delta m = 2M \frac{r \Delta r}{R^{2} }$.
Подставив это выражение для $\Delta m$ в формулу (2), получим
$\Delta A = \frac{2 \phi Mg kr^{2} \Delta r }{R^{2} }$.
Работа силы трения при повороте всего диска равна сумме таких выражений, относящихся к разным цилиндрам:
$A = \sum \frac{2 \phi Mg kr^{2} \Delta r }{R^{2} } = \frac{2 \phi Mgk \sum r^{2} \Delta r }{R^{2} }$. (3)
Сумму $\sum r^{2} \Delta r$ можно посчитать так. Рассмотрим график функции $y = r^{2}$ (рис.). Произведение $r^{2} \Delta r$ - это площадь выделенного на рисунке прямоугольника, а сумма $\sum r^{2} \Delta r$ равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из подобных прямоугольников. При $\Delta r \rightarrow 0$ ломаная линия стремится к параболе $y = r^{2}$. Поэтому выражение $\sum r^{2} \Delta r$г численно равно площади фигуры под графиком параболы. Для отыскания этой площади можно использовать метод, изложенный в статье Л Д. сентукидзе "Архимед и квадратура параболы" ("Квант" ? 7, 1971), и прийти к выражению
$\sum r^{2} \Delta r = \frac{1}{3} R^{3}$.
Подставим это выражение в формулу (3)
$A = \frac{2 \phi Mg k R^{3} }{3R^{2} } = \frac{2}{3} \phi Mg kR$.
Приравняем теперь эту величину кинетической энергии диска:
$\frac{2}{3} \phi MgkR = Fl$.
Отсюда найдем угол поворота диска
$\phi = \frac{3}{2} \frac{Fl}{MgkR}$.
Число оборотов диска равно
$n = \frac{ \phi}{ 2 \pi} = \frac{3}{4} \frac{Fl}{ \pi Mg kR}$.
