Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11847
2019-11-30 
Разность между давлениями внутри и снаружи резинового шарика возросла на $\alpha_{1}$ % а при этом радиус шарика увеличился на $q_{1}$ %. На сколько процентов возрастет радиус шарика, если разность между давлениями внутри и снаружи шарика возрастет на $\alpha_{2}$ %?
Решение:
Для того чтобы решить задачу, нужно найти формулу, связывающую разность давлений внутри и снаружи шарика с его радиусом. Мы знаем, что в случае мыльного пузыря разность давлений пропорциональна величине $\sigma /R$:
$\Delta P \sim \frac{ \sigma }{R}$,
где $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, $\sigma$ - это сила, которая действует на единицу длины границы мыльной пленки.
Обратная пропорциональная зависимость разности давлений от радиуса пузыря связана не с природой поверхности, а с тем, что она имеет сферическую форму. Поэтому точно такая же формула должна быть правильной и для резинового шарика.
Однако, в случае резинового шарика $\sigma$, то есть сила упругости, действующая на единицу длины границы резиновой пленки, не будет постоянной величиной, не зависящей, как в случае мыльного пузыря, от его радиуса.
Найти зависимость $\sigma (R)$ трудно. Мы же приведем решение задачи, которое не зависит от вида функции $\sigma (R)$. Будем предполагать, что изменение радиуса шарика мало по сравнению с самим радиусом и изменение разности давлений внутри и снаружи шарика тоже мало по сравнению с самой этой разностью. Это значит, что $q_{1} \ll 100, q_{2} \ll 100, \alpha_{1} \ll 100$ и $\alpha_{2} \ll 100$ ($q_{2}$ % - изменение радиуса шарика во втором случае). Изменение радиуса шарика зависит от изменения разности давлений. Это означает, что $q$ является функцией $\alpha$: $q = q(a)$. Что можно сказать о графике функции $q( \alpha)$. При $q = 0$ $\alpha = 0$, следовательно, кривая $q( \alpha)$ проходит через начало координат. Физически ясно, что эта кривая при малых $\alpha$, не имеет вертикальных скачков. При достаточно малых а действительный график зависимости $q( \alpha)$ с хорошим приближением можно заменить прямой - касательной к графику в начале координат. То есть зависимость $q( \alpha)$ можно считать линейной:
$q = k \alpha$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
Теперь решить задачу совсем просто. Согласно условию
$q_{1} = k \alpha_{1}$, (1)
$q_{2} = k \alpha_{2}$. (2)
(мы считаем, что увеличение разности давлений отсчитывается от одного начального значения. Возможно, что при некоторой "критической" разности давлений шарик "лопнет". Мы считаем, что увеличение разности давлений на $\alpha_{1}$ % и $\alpha_{2}$ % начинается с некоторого начального значения, далекого от критического.). Разделив равенство (2) на (1) почленно, получим.
$\frac{q_{2} }{q_{1} } = \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} }$,
откуда
$q_{2} = q_{1} \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} }$.
Разность между давлениями внутри и снаружи резинового шарика возросла на $\alpha_{1}$ % а при этом радиус шарика увеличился на $q_{1}$ %. На сколько процентов возрастет радиус шарика, если разность между давлениями внутри и снаружи шарика возрастет на $\alpha_{2}$ %?
Решение:
Для того чтобы решить задачу, нужно найти формулу, связывающую разность давлений внутри и снаружи шарика с его радиусом. Мы знаем, что в случае мыльного пузыря разность давлений пропорциональна величине $\sigma /R$:
$\Delta P \sim \frac{ \sigma }{R}$,
где $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, $\sigma$ - это сила, которая действует на единицу длины границы мыльной пленки.
Обратная пропорциональная зависимость разности давлений от радиуса пузыря связана не с природой поверхности, а с тем, что она имеет сферическую форму. Поэтому точно такая же формула должна быть правильной и для резинового шарика.
Однако, в случае резинового шарика $\sigma$, то есть сила упругости, действующая на единицу длины границы резиновой пленки, не будет постоянной величиной, не зависящей, как в случае мыльного пузыря, от его радиуса.
Найти зависимость $\sigma (R)$ трудно. Мы же приведем решение задачи, которое не зависит от вида функции $\sigma (R)$. Будем предполагать, что изменение радиуса шарика мало по сравнению с самим радиусом и изменение разности давлений внутри и снаружи шарика тоже мало по сравнению с самой этой разностью. Это значит, что $q_{1} \ll 100, q_{2} \ll 100, \alpha_{1} \ll 100$ и $\alpha_{2} \ll 100$ ($q_{2}$ % - изменение радиуса шарика во втором случае). Изменение радиуса шарика зависит от изменения разности давлений. Это означает, что $q$ является функцией $\alpha$: $q = q(a)$. Что можно сказать о графике функции $q( \alpha)$. При $q = 0$ $\alpha = 0$, следовательно, кривая $q( \alpha)$ проходит через начало координат. Физически ясно, что эта кривая при малых $\alpha$, не имеет вертикальных скачков. При достаточно малых а действительный график зависимости $q( \alpha)$ с хорошим приближением можно заменить прямой - касательной к графику в начале координат. То есть зависимость $q( \alpha)$ можно считать линейной:
$q = k \alpha$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
Теперь решить задачу совсем просто. Согласно условию
$q_{1} = k \alpha_{1}$, (1)
$q_{2} = k \alpha_{2}$. (2)
(мы считаем, что увеличение разности давлений отсчитывается от одного начального значения. Возможно, что при некоторой "критической" разности давлений шарик "лопнет". Мы считаем, что увеличение разности давлений на $\alpha_{1}$ % и $\alpha_{2}$ % начинается с некоторого начального значения, далекого от критического.). Разделив равенство (2) на (1) почленно, получим.
$\frac{q_{2} }{q_{1} } = \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} }$,
откуда
$q_{2} = q_{1} \frac{ \alpha_{2} }{ \alpha_{1} }$.
