Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11843
2019-11-28 
Одни моль газа сжимают так, что его объем во время процесса сжатия пропорционален давлению $V = \alpha P$. Давление газа увеличивается от $P_{1}$ до $P_{2}$. Найти коэффициент $\alpha$, если теплоемкость этого газа при постоянном объеме равна $c_{V}$ и во время процесса газу сообщается количество тепла $Q$.
Решение:
Из закона сохранения энергии следует, что количество тепла, сообщенного газу во время процесса, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta W_{вн}$ и работы $A$, совершенной газом во время процесса:
$Q = \Delta W_{вн} + A$.
Изменение внутренней энергии газа точно такое же, каким оно было бы при изохорическом процессе - это изменение определяется разностью температур газа $\Delta T$:
$\Delta W_{вн} = c_{V} \Delta T$.
Поэтому
$Q = c_{V} \Delta T + A$. (2)
Работа, совершенная газом, равна площади трапеции под графиком зависимости $P$ от $V$ (рис.):
$A = (V_{2} - V_{1}) \frac{(P_{2} + P_{1})}{2} = \frac{( \alpha P_{2} - \alpha P_{1} )(P_{2} + P_{1} ) }{2} = \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{2}$.
Таким образом,
$Q = c_{V} \Delta T + \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{2}$. (3)
Выразим $\Delta T$ через $P_{1}$ и $P_{2}$. Запишем уравнение газового состояния для начального и конечного состояний газа:
$P_{1}V_{1} = RT_{1}$,
$P_{2}V_{2} = RT_{2}$,
или
$\alpha P_{1}^{2} = RT_{1}$,
$\alpha P_{2}^{2} = RT_{2}$.
Вычитая из второго равенства первое, найдем
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{R}$.
Теперь, подставив это выражение для $\Delta T$ в формулу (3), получим
$Q = \frac{c_{V} \alpha }{R} (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) + \frac{ \alpha }{2} (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} )$.
Отсюда
$\alpha = \frac{2QR}{(2c_{V} + R )(P_{2}^{2} - P_{1}^{2} )}$.
Одни моль газа сжимают так, что его объем во время процесса сжатия пропорционален давлению $V = \alpha P$. Давление газа увеличивается от $P_{1}$ до $P_{2}$. Найти коэффициент $\alpha$, если теплоемкость этого газа при постоянном объеме равна $c_{V}$ и во время процесса газу сообщается количество тепла $Q$.
Решение:
Из закона сохранения энергии следует, что количество тепла, сообщенного газу во время процесса, равно сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta W_{вн}$ и работы $A$, совершенной газом во время процесса:
$Q = \Delta W_{вн} + A$.
Изменение внутренней энергии газа точно такое же, каким оно было бы при изохорическом процессе - это изменение определяется разностью температур газа $\Delta T$:
$\Delta W_{вн} = c_{V} \Delta T$.
Поэтому
$Q = c_{V} \Delta T + A$. (2)
Работа, совершенная газом, равна площади трапеции под графиком зависимости $P$ от $V$ (рис.):
$A = (V_{2} - V_{1}) \frac{(P_{2} + P_{1})}{2} = \frac{( \alpha P_{2} - \alpha P_{1} )(P_{2} + P_{1} ) }{2} = \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{2}$.
Таким образом,
$Q = c_{V} \Delta T + \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{2}$. (3)
Выразим $\Delta T$ через $P_{1}$ и $P_{2}$. Запишем уравнение газового состояния для начального и конечного состояний газа:
$P_{1}V_{1} = RT_{1}$,
$P_{2}V_{2} = RT_{2}$,
или
$\alpha P_{1}^{2} = RT_{1}$,
$\alpha P_{2}^{2} = RT_{2}$.
Вычитая из второго равенства первое, найдем
$\Delta T = T_{2} - T_{1} = \frac{ \alpha (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) }{R}$.
Теперь, подставив это выражение для $\Delta T$ в формулу (3), получим
$Q = \frac{c_{V} \alpha }{R} (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} ) + \frac{ \alpha }{2} (P_{2}^{2} - P_{1}^{2} )$.
Отсюда
$\alpha = \frac{2QR}{(2c_{V} + R )(P_{2}^{2} - P_{1}^{2} )}$.
