Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11838
2019-11-28 
В некоторой галактике обнаружена звезда З планета П, делающий за время $T_{1}$ один оборот вокруг звезды и за время $T_{2}$ один оборот вокруг собственной оси. Cпутник планеты С делает один оборот вокруг планеты за время $T_{3}$. Через какое время повторяется в данном месте планеты затмение спутника С?
Все тела вращаются в одной плоскости.
Решение:
Пусть в системе координат, связанной с неподвижными звездами, планета и спутник вращаются так, как показано на рисунке a. $\omega_{1} = \frac{2 \pi}{T_{1} }$ - угловая скорость вращения планеты по орбите, $\omega_{2} = \frac{2 \pi}{T_{2} }$ - угловая скорость вращения планеты вокруг собственной оси и $\omega_{3} = \frac{2 \pi}{T_{3} }$ - угловая скорость вращения спутника вокруг планеты.
В системе координат, связанной с планетой, но не вращающейся относительно неподвижных далеких звезд, звезда вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega_{1}$, как показано на рисунке б, а спутник вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega_{3}$.
Теперь перейдем в систему координат, связанную с планетой и вращающуюся вместе с ней. В этой системе координат звезда вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega^{ \prime} = \omega_{1} - \omega_{2}$, а спутник - с угловой скоростью $\omega^{ \prime \prime} = \omega_{3} - \omega_{2}$.
Если в некоторый момент на планете наблюдается затмение спутника, то следующее затмение спутника будет наблюдаться на планете через время $t$, за которое звезда повернется на угол $\phi$, а спутник - на угол $2 \pi + \phi$. Мы предполагаем, что $\omega_{3} > \omega_{1}$.
$\phi = \omega^{ \prime}t$
и
$2 \pi + \phi = \omega^{ \prime \prime} t$.
Отсюда
$2 \pi = ( \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} )t$,
$t = \frac{2 \pi}{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} } = \frac{2 \pi}{ \omega_{3} - \omega_{1} } = \frac{T_{1}T_{3} }{T_{1} - T_{3} }$.
Ясно, что следующее затмение произойдет, когда звезда повернется на угол $2 \phi$, затем, когда она поверяется на угол $З \phi$, и т. д. Если при некотором целом $N$ число $N \phi$ будет равно целому кратному $2 \pi$, то $N$-е затмение придется в начальную точку. Итак, если $N \phi = 2 \pi m$, то есть, если число $\frac{ \phi}{2 \pi}$ можно представить в виде несократимой дроби
$\frac{ \phi}{2 \pi} = \frac{ \omega^{ \prime} }{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} } = \frac{T_{3}(T_{2} - T_{1} ) }{T_{2} (T_{1} - T_{3} ) } = \frac{m}{N}$,
то через промежуток времени
$mt = \frac{2 \pi m}{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime}} = \frac{2 \pi m T_{3}T_{1} }{T_{1} - T_{2} }$
затмение будет приходиться в ту же самую точку. Если же число $\frac{ \phi}{2 \pi}$ иррационально, то $N \phi$ ($N = 1, 2, 3, \cdots$) никогда не будет целым кратным $2 \pi$ и поэтому затмение никогда не придется в ту же точку.
На практике, конечно отношение $\frac{ \phi}{2 \pi} = \frac{ \omega^{ \prime} }{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} }$ можно указать только приближенно, и не имеет смысла говорить о том, рациональное это число или иррациональное. Но наше рассуждение показывает, что если число $\frac{T_{3}(T_{2} - T_{1})}{T_{2} (T_{1} - T_{3} ) }$ хорошо приближается дробью с небольшими числителем и знаменателем, то затмение будет происходить почти точно в одном из $N$ мест планеты (последовательно проходя через все эти $N$ мест), а если не приближается, то затмение происходит каждый раз в новом месте.
В некоторой галактике обнаружена звезда З планета П, делающий за время $T_{1}$ один оборот вокруг звезды и за время $T_{2}$ один оборот вокруг собственной оси. Cпутник планеты С делает один оборот вокруг планеты за время $T_{3}$. Через какое время повторяется в данном месте планеты затмение спутника С?
Все тела вращаются в одной плоскости.
Решение:
Пусть в системе координат, связанной с неподвижными звездами, планета и спутник вращаются так, как показано на рисунке a. $\omega_{1} = \frac{2 \pi}{T_{1} }$ - угловая скорость вращения планеты по орбите, $\omega_{2} = \frac{2 \pi}{T_{2} }$ - угловая скорость вращения планеты вокруг собственной оси и $\omega_{3} = \frac{2 \pi}{T_{3} }$ - угловая скорость вращения спутника вокруг планеты.
В системе координат, связанной с планетой, но не вращающейся относительно неподвижных далеких звезд, звезда вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega_{1}$, как показано на рисунке б, а спутник вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega_{3}$.
Теперь перейдем в систему координат, связанную с планетой и вращающуюся вместе с ней. В этой системе координат звезда вращается вокруг планеты с угловой скоростью $\omega^{ \prime} = \omega_{1} - \omega_{2}$, а спутник - с угловой скоростью $\omega^{ \prime \prime} = \omega_{3} - \omega_{2}$.
Если в некоторый момент на планете наблюдается затмение спутника, то следующее затмение спутника будет наблюдаться на планете через время $t$, за которое звезда повернется на угол $\phi$, а спутник - на угол $2 \pi + \phi$. Мы предполагаем, что $\omega_{3} > \omega_{1}$.
$\phi = \omega^{ \prime}t$
и
$2 \pi + \phi = \omega^{ \prime \prime} t$.
Отсюда
$2 \pi = ( \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} )t$,
$t = \frac{2 \pi}{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} } = \frac{2 \pi}{ \omega_{3} - \omega_{1} } = \frac{T_{1}T_{3} }{T_{1} - T_{3} }$.
Ясно, что следующее затмение произойдет, когда звезда повернется на угол $2 \phi$, затем, когда она поверяется на угол $З \phi$, и т. д. Если при некотором целом $N$ число $N \phi$ будет равно целому кратному $2 \pi$, то $N$-е затмение придется в начальную точку. Итак, если $N \phi = 2 \pi m$, то есть, если число $\frac{ \phi}{2 \pi}$ можно представить в виде несократимой дроби
$\frac{ \phi}{2 \pi} = \frac{ \omega^{ \prime} }{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} } = \frac{T_{3}(T_{2} - T_{1} ) }{T_{2} (T_{1} - T_{3} ) } = \frac{m}{N}$,
то через промежуток времени
$mt = \frac{2 \pi m}{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime}} = \frac{2 \pi m T_{3}T_{1} }{T_{1} - T_{2} }$
затмение будет приходиться в ту же самую точку. Если же число $\frac{ \phi}{2 \pi}$ иррационально, то $N \phi$ ($N = 1, 2, 3, \cdots$) никогда не будет целым кратным $2 \pi$ и поэтому затмение никогда не придется в ту же точку.
На практике, конечно отношение $\frac{ \phi}{2 \pi} = \frac{ \omega^{ \prime} }{ \omega^{ \prime \prime} - \omega^{ \prime} }$ можно указать только приближенно, и не имеет смысла говорить о том, рациональное это число или иррациональное. Но наше рассуждение показывает, что если число $\frac{T_{3}(T_{2} - T_{1})}{T_{2} (T_{1} - T_{3} ) }$ хорошо приближается дробью с небольшими числителем и знаменателем, то затмение будет происходить почти точно в одном из $N$ мест планеты (последовательно проходя через все эти $N$ мест), а если не приближается, то затмение происходит каждый раз в новом месте.
