ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-11-28   
Каким должен быть коэффициент трения стержня о пол для того, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке? Длина нити, удерживающей стержень, равна длине стержня.



Решение:



Так как стержень находится в равновесии, то суммы проекций всех действующих на него сил на вертикальное и горизонтальное направления должны быть равны нулю. Силы, действующие на стержень, показаны на рисунке. Значит,

$F_{тр} - T \sin \alpha = 0$, (1)
$N + T \cos \alpha - mg = 0$.

Запишем еще условие того, что стержень не вращается вокруг точки С. Для этого должна быть равна нулю сумма моментов всех сил относительно точки С:

$Tl \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \sin \alpha = 0$. (2)

Из уравнения (2) следует, что $T = \frac{1}{2} mg$. Перепишем, учитывая это, уравнения (1). Учтем еще и то, что при наименьшем коэффициенте трения, когда еще возможно равновесие стержня, $F_{тр} = kN$:

$kN - \frac{1}{2} mg \sin \alpha = 0$,
$N + \frac{1}{2} mg \cos \alpha - mg = 0$.

Отсюда

$kN = \frac{1}{2} mg \sin \alpha$.
$N = mg \left ( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right )$.

Следовательно,

$k = \frac{ \sin \alpha }{2 - \cos \alpha} = \frac{ \sqrt{3} }{3}$.