Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1183
2016-10-20 
Зависимость приведённой температуры $T/T_{0}$ гелия от приведённого давления $p/p_{0}$ имеет вид окружности, центр которой находится в точке $(1; 1)$, причём минимальная приведённая температура гелия в этом процессе равна $\tau_{min}$. Найдите отношение минимальной и максимальной концентраций атомов гелия при таком процессе.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, концентрация $n$ атомов гелия определяется его температурой $T$ и давлением $p: n = \frac{p}{kT}$, где $k$ — постоянная Больцмана. Отсюда следует, что на $Tp$-диаграмме из двух прямых, проходящих через начало координат, большей концентрации атомов соответствует прямая, идущая под меньшим углом к оси $p$. Поэтому в показанной на рисунке диаграмме данного процесса, построенной в приведённых координатах $\tau = T/T_{0}$ и $\pi = p/p_{0}$ концентрация атомов максимальна в точке $B$ и минимальна в точке $A$. Из чертежа следует, что $n_{max} = \frac{p_{B}}{kT_{B}} = \frac{p_{0} ctg \beta}{kT_{0}}$, где $\beta$ — угол наклона касательной $BO$ к оси $\pi$ на приведённой диаграмме. Так как $\triangle ACO = \triangle BCO$, то угол между касательной $AO$ и осью $\tau$ на приведённой диаграмме также равен $\beta$, и $n_{min} = \frac{p_{A}}{kT_{A}} = \frac{p_{0} tg \beta}{kT_{0}}$. Поэтому искомое отношение: $x = \frac{n_{min}}{n_{max}} = tg^{2} \beta$.
Минимальная приведённая температура $\tau_{min}= T_{m}/T_{0}$ гелия и радиус $r$ окружности, соответствующей на диаграмме данному процессу, связаны соотношением $r = 1 — \tau_{min}$. Так как $\triangle CBO$ прямоугольный и его гипотенуза $OC = \sqrt{2}$, то $\sin \alpha = \frac{r}{ \sqrt{2}}$. Кроме того, из диаграммы видно, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{4}$. Учитывая всё это, получаем:
$x = tg^{2} \beta = tg^{2} \left ( \frac{ \pi}{4} - \alpha \right ) = \left ( \frac{1- tg \alpha}{1 + tg \alpha} \right )^{2} = \frac{1- \sin 2 \alpha}{1 + \sin 2 \alpha} = \frac{1 - r \sqrt{2 -r^{2}}}{1 + r \sqrt{2 - r^{2}}} = \frac{1 - (1 - \tau_{min} \sqrt{2 - (1 - \tau_{min})^{2}})}{1 + (1 - \tau_{min}) \sqrt{2 - (1 - \tau_{min})^{2}}} = \frac{1 - (1 - \tau_{min} \sqrt{ 1 + 2 \tau_{min} - \tau_{min}^{2}})}{1 + (1 - \tau_{min} \sqrt{1 + 2 \tau_{min} - \tau_{min}^{2}})}$.
Зависимость приведённой температуры $T/T_{0}$ гелия от приведённого давления $p/p_{0}$ имеет вид окружности, центр которой находится в точке $(1; 1)$, причём минимальная приведённая температура гелия в этом процессе равна $\tau_{min}$. Найдите отношение минимальной и максимальной концентраций атомов гелия при таком процессе.
Решение:
Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, концентрация $n$ атомов гелия определяется его температурой $T$ и давлением $p: n = \frac{p}{kT}$, где $k$ — постоянная Больцмана. Отсюда следует, что на $Tp$-диаграмме из двух прямых, проходящих через начало координат, большей концентрации атомов соответствует прямая, идущая под меньшим углом к оси $p$. Поэтому в показанной на рисунке диаграмме данного процесса, построенной в приведённых координатах $\tau = T/T_{0}$ и $\pi = p/p_{0}$ концентрация атомов максимальна в точке $B$ и минимальна в точке $A$. Из чертежа следует, что $n_{max} = \frac{p_{B}}{kT_{B}} = \frac{p_{0} ctg \beta}{kT_{0}}$, где $\beta$ — угол наклона касательной $BO$ к оси $\pi$ на приведённой диаграмме. Так как $\triangle ACO = \triangle BCO$, то угол между касательной $AO$ и осью $\tau$ на приведённой диаграмме также равен $\beta$, и $n_{min} = \frac{p_{A}}{kT_{A}} = \frac{p_{0} tg \beta}{kT_{0}}$. Поэтому искомое отношение: $x = \frac{n_{min}}{n_{max}} = tg^{2} \beta$.
Минимальная приведённая температура $\tau_{min}= T_{m}/T_{0}$ гелия и радиус $r$ окружности, соответствующей на диаграмме данному процессу, связаны соотношением $r = 1 — \tau_{min}$. Так как $\triangle CBO$ прямоугольный и его гипотенуза $OC = \sqrt{2}$, то $\sin \alpha = \frac{r}{ \sqrt{2}}$. Кроме того, из диаграммы видно, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{4}$. Учитывая всё это, получаем:
$x = tg^{2} \beta = tg^{2} \left ( \frac{ \pi}{4} - \alpha \right ) = \left ( \frac{1- tg \alpha}{1 + tg \alpha} \right )^{2} = \frac{1- \sin 2 \alpha}{1 + \sin 2 \alpha} = \frac{1 - r \sqrt{2 -r^{2}}}{1 + r \sqrt{2 - r^{2}}} = \frac{1 - (1 - \tau_{min} \sqrt{2 - (1 - \tau_{min})^{2}})}{1 + (1 - \tau_{min}) \sqrt{2 - (1 - \tau_{min})^{2}}} = \frac{1 - (1 - \tau_{min} \sqrt{ 1 + 2 \tau_{min} - \tau_{min}^{2}})}{1 + (1 - \tau_{min} \sqrt{1 + 2 \tau_{min} - \tau_{min}^{2}})}$.
