Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11827
2019-11-28 
Футболист ударил по мячу, сообщив ему скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, и попал в нижний угол ворот. Если бы футболист ударил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% большей скорости $v$, то он попал бы в верхнюю штангу ворот. Найти скорость, с которой начинает двигаться мяч, если высота ворот $h = 2 м$, а угол $\alpha = 30^{ \circ}$.
Решение:
Запишем кинематические уравнения движения мяча. По горизонтали - вдоль оси $X$ мяч движется равномерно со скоростью $v_{1} = v \cos \alpha$ (рис.); его координата $x$ меняется со временем по закону
$x = vt \cos \alpha$.
Вдоль оси $Y$ (по вертикали) мяч движется равноускоренно с ускорением $g$, направленным вниз. Поэтому
$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В момент $t_{0}$ падения на Землю $y = 0$ и $x = l$, где $l$ - дальность полета мяча. Поэтому
$l = vt_{0} \cos \alpha$, (1)
$0 = vt_{0} \sin \alpha - \frac{gt_{0}^{2} }{2}$. (2)
Если бы мяч начал двигаться со скоростью, на 5% большей скорости $v$, то есть со скоростью $1,05v$, то его координаты $x$ и $y$ менялись бы со временем так.
$x = 1,05 vt \cos \alpha$ и $y = 1,05 vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В момент удара мяча о верхнюю штангу ворот его координата $x$ была бы равна $l$, а координата $y$ - высоте ворот $h$. Поэтому в момент $t_{1}$ удара о штангу ворот
$l = 1,05vt_{1} \cos \alpha$, (3)
$h = 1,05vt_{1} \sin \alpha - \frac{gt_{1}^{2} }{2}$. (4)
Решим теперь систему уравнений (1) - (4) Из уравнения (2) нетрудно найти время $t_{0}$ полета мяча в первом случае. Так как $t_{0} \neq 0$ то разделив это уравнение на $t_{0}$, найдем
$t_{0} = \frac{2v \sin \alpha}{g}$.
Далее, разделив уравнение (3) на уравнение (1), получим:
$l = 1,05 \frac{t_{1} }{t_{0} }$.
Отсюда
$t_{1} = \frac{t_{0}}{1,05} = \frac{2v \sin \alpha}{1,05g}$.
Теперь, подставив выражение для $t_{1}$ в уравнение (4), найдем
$v = \sqrt{ \frac{gh}{0,2 \sin^{2} \alpha } }$.
Футболист ударил по мячу, сообщив ему скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, и попал в нижний угол ворот. Если бы футболист ударил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% большей скорости $v$, то он попал бы в верхнюю штангу ворот. Найти скорость, с которой начинает двигаться мяч, если высота ворот $h = 2 м$, а угол $\alpha = 30^{ \circ}$.
Решение:
Запишем кинематические уравнения движения мяча. По горизонтали - вдоль оси $X$ мяч движется равномерно со скоростью $v_{1} = v \cos \alpha$ (рис.); его координата $x$ меняется со временем по закону
$x = vt \cos \alpha$.
Вдоль оси $Y$ (по вертикали) мяч движется равноускоренно с ускорением $g$, направленным вниз. Поэтому
$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В момент $t_{0}$ падения на Землю $y = 0$ и $x = l$, где $l$ - дальность полета мяча. Поэтому
$l = vt_{0} \cos \alpha$, (1)
$0 = vt_{0} \sin \alpha - \frac{gt_{0}^{2} }{2}$. (2)
Если бы мяч начал двигаться со скоростью, на 5% большей скорости $v$, то есть со скоростью $1,05v$, то его координаты $x$ и $y$ менялись бы со временем так.
$x = 1,05 vt \cos \alpha$ и $y = 1,05 vt \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
В момент удара мяча о верхнюю штангу ворот его координата $x$ была бы равна $l$, а координата $y$ - высоте ворот $h$. Поэтому в момент $t_{1}$ удара о штангу ворот
$l = 1,05vt_{1} \cos \alpha$, (3)
$h = 1,05vt_{1} \sin \alpha - \frac{gt_{1}^{2} }{2}$. (4)
Решим теперь систему уравнений (1) - (4) Из уравнения (2) нетрудно найти время $t_{0}$ полета мяча в первом случае. Так как $t_{0} \neq 0$ то разделив это уравнение на $t_{0}$, найдем
$t_{0} = \frac{2v \sin \alpha}{g}$.
Далее, разделив уравнение (3) на уравнение (1), получим:
$l = 1,05 \frac{t_{1} }{t_{0} }$.
Отсюда
$t_{1} = \frac{t_{0}}{1,05} = \frac{2v \sin \alpha}{1,05g}$.
Теперь, подставив выражение для $t_{1}$ в уравнение (4), найдем
$v = \sqrt{ \frac{gh}{0,2 \sin^{2} \alpha } }$.
