Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11826
2019-11-28 
Космонавт массой 100 кг находится вне космического корабля, масса которого равна $5m$, на фале длиной 64 м. Найти натяжение фала, если корабль находится между космонавтом и Землей на линии, соединяющей их центры тяжести.
При расчете считать, что корабль движется по круговой орбите, высота которой от поверхности Земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли ($R = 6400 км$).
Решение:
На космический корабль действуют две силы: сила притяжения к Земле $F_{1} = \gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} }$ ($M$ - масса корабля, $M_{з}$ - масса Земли, $R_{1}$ - радиус орбиты корабля, $\gamma$ - гравитационная постоянная) и сила натяжения фала $T$ (рис.). Под действием этих сил корабль движется по окружности. Если угловая скорость движения корабля равна $\omega$, то корабль движется с центростремительным ускорением $a_{1} = \omega^{2}R_{1}$, которое сообщает ему равнодействующая сил $F_{1}$ и $T$. Согласно второму закону Ньютона $F_{1} - T = M \omega^{2} R_{1}$, или
$\gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} } - T = M \omega^{2}R_{1}$. (1)
Рассмотрим силы, действующие на космонавта. Это сила натяжения фала $T$ и сила притяжения космонавта к Земле
$F_{2} = \gamma \frac{mM_{з}}{R_{2}^{2} }$,
где $m$ - масса космонавта, $R_{1}$ - радиус его орбиты. Под действием этих сил космонавт движется по окружности радиуса $R_{2}$ с угловой скоростью $\omega$, то есть с центростремительным ускорением $a_{2} = \omega^{2}R_{2}$. Так как обе силы, действующие на космонавта, направлены к центру Земли, то $F_{2} + T = m \omega^{2}R_{2}$, или
$\gamma \frac{mM_{з} }{R_{2}^{2} } + T = m \omega^{2} R_{2}$. (2)
Исключив $\omega$ из уравнений (1) и (2), получим
$\left ( \gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} } - T \right ) \frac{1}{MR_{1} } = \left ( \gamma \frac{mM_{з} }{R_{2}^{2} } + T \right ) \frac{1}{mR_{2} }$,
или
$\gamma M_{з} \frac{R_{2}^{3} - R_{1}^{3} }{R_{1}^{2}R_{2}^{2} } = T \frac{mR_{2} + mR_{1} }{mM}$. (3)
Но $R_{2} \approx R_{1} \approx R$ и поэтому:
$R_{1}R_{2} \approx R^{2}$.
$R_{2}^{3} - R_{1}^{3} = (R_{2} - R_{1})(R_{2}^{2} + R_{1}^{2} + R_{1}R_{2} ) \approx 3lR^{2}$.
($l$ - длина фала),
$mR_{2} + MR_{1} = (m + M)R$.
Это означает, что равенство (3) можно записать так:
$3 \gamma \frac{M_{з} }{R^{2} } l = TR \frac{m + M}{mM}$.
Отсюда получаем:
$T = 3 \gamma \frac{M_{з} }{R^{2} } \frac{l}{R} \frac{mM}{m + M}$.
Если тело массы $m$ находится на поверхности Земли, то на него действует сила тяжести $F = \gamma \frac{mM_{з} }{R^{2} } = mg$. Это означает, что ускорение $g$ свободного падения равно величине $\gamma \frac{M_{з} }{R^{2} }$. Поэтому мы можем выражение для силы натяжения фала переписать следующим образом:
$T = 3 \frac{l}{R} \frac{mM}{m + M}g$.
Подставив в эту формулу численные значения $R, g, m$ и $M$, найдем
$T \approx 0,03 н$.
Космонавт массой 100 кг находится вне космического корабля, масса которого равна $5m$, на фале длиной 64 м. Найти натяжение фала, если корабль находится между космонавтом и Землей на линии, соединяющей их центры тяжести.
При расчете считать, что корабль движется по круговой орбите, высота которой от поверхности Земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли ($R = 6400 км$).
Решение:
На космический корабль действуют две силы: сила притяжения к Земле $F_{1} = \gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} }$ ($M$ - масса корабля, $M_{з}$ - масса Земли, $R_{1}$ - радиус орбиты корабля, $\gamma$ - гравитационная постоянная) и сила натяжения фала $T$ (рис.). Под действием этих сил корабль движется по окружности. Если угловая скорость движения корабля равна $\omega$, то корабль движется с центростремительным ускорением $a_{1} = \omega^{2}R_{1}$, которое сообщает ему равнодействующая сил $F_{1}$ и $T$. Согласно второму закону Ньютона $F_{1} - T = M \omega^{2} R_{1}$, или
$\gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} } - T = M \omega^{2}R_{1}$. (1)
Рассмотрим силы, действующие на космонавта. Это сила натяжения фала $T$ и сила притяжения космонавта к Земле
$F_{2} = \gamma \frac{mM_{з}}{R_{2}^{2} }$,
где $m$ - масса космонавта, $R_{1}$ - радиус его орбиты. Под действием этих сил космонавт движется по окружности радиуса $R_{2}$ с угловой скоростью $\omega$, то есть с центростремительным ускорением $a_{2} = \omega^{2}R_{2}$. Так как обе силы, действующие на космонавта, направлены к центру Земли, то $F_{2} + T = m \omega^{2}R_{2}$, или
$\gamma \frac{mM_{з} }{R_{2}^{2} } + T = m \omega^{2} R_{2}$. (2)
Исключив $\omega$ из уравнений (1) и (2), получим
$\left ( \gamma \frac{MM_{з} }{R_{1}^{2} } - T \right ) \frac{1}{MR_{1} } = \left ( \gamma \frac{mM_{з} }{R_{2}^{2} } + T \right ) \frac{1}{mR_{2} }$,
или
$\gamma M_{з} \frac{R_{2}^{3} - R_{1}^{3} }{R_{1}^{2}R_{2}^{2} } = T \frac{mR_{2} + mR_{1} }{mM}$. (3)
Но $R_{2} \approx R_{1} \approx R$ и поэтому:
$R_{1}R_{2} \approx R^{2}$.
$R_{2}^{3} - R_{1}^{3} = (R_{2} - R_{1})(R_{2}^{2} + R_{1}^{2} + R_{1}R_{2} ) \approx 3lR^{2}$.
($l$ - длина фала),
$mR_{2} + MR_{1} = (m + M)R$.
Это означает, что равенство (3) можно записать так:
$3 \gamma \frac{M_{з} }{R^{2} } l = TR \frac{m + M}{mM}$.
Отсюда получаем:
$T = 3 \gamma \frac{M_{з} }{R^{2} } \frac{l}{R} \frac{mM}{m + M}$.
Если тело массы $m$ находится на поверхности Земли, то на него действует сила тяжести $F = \gamma \frac{mM_{з} }{R^{2} } = mg$. Это означает, что ускорение $g$ свободного падения равно величине $\gamma \frac{M_{з} }{R^{2} }$. Поэтому мы можем выражение для силы натяжения фала переписать следующим образом:
$T = 3 \frac{l}{R} \frac{mM}{m + M}g$.
Подставив в эту формулу численные значения $R, g, m$ и $M$, найдем
$T \approx 0,03 н$.
