Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11825
2019-11-28 
Инфракрасное излучение определенной длины волны поглощается метаном ($CH_{4}$). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения (то есть $q = 0,98$ часть энергии излучения). Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли?
Решение:
При расчете весовое содержание метана в атмосфере принять равным $\alpha = 1,4 \cdot 10^{-6}$.
Найдем вначале количество метана в вертикальном столбе земной атмосферы с площадью основания $S$. Давление этого столба на поверхность Земли равно атмосферному давлению $P_{0}$. С другой стороны, это давление равно силе тяжести воздушного столба, деленной на площадь $S$. Пренебрегая изменением ускорения силы тяжести с высотой (это можно сделать, так как граница атмосферы лежит на высоте около 200 км, а это много меньше радиуса Земли 6400 км), мы можем записать:
$P_{0} = \frac{mg}{S}$.
Отсюда
$m = \frac{P_{0}S }{g}$.
Умножив $m$ на $\alpha$, получим массу метана в этом столбе:
$m_{CH_{4}} = \alpha m = \frac{ \alpha P_{0}S }{g}$.
Теперь найдем, слой какой толщины $x$ составляла бы эта масса метана при нормальных условиях (площадь основания цилиндра по-прежнему равна $S$).
Запишем уравнение газового состояния:
$P_{0}Sx = \frac{m_{CH_{4} } }{ \mu} RT$,
где $Sx$ - объем массы метана $m_{CH_{4}}, \mu$ - масса одного киломоля метана ($\mu = 16 \frac{кг}{кмоль}$), $R = 8,3 \cdot 10^{3} \frac{дж}{град \cdot кмоль}$ - газовая постоянная, $T = 273^{ \circ} К$ - нормальная температура и $P_{0} = 1 атм$ - нормальное давление. Подставив в это уравнение выражение для массы метана, найдем
$x = \frac{ \alpha RT}{g \mu}$ м.
Если энергия излучения равна вначале $E_{0}$, то после того, как излучение пройдет слой толщиной $d = 1 см$, энергия излучения станет равна $(1 - q)E_{0}$. Следующий сантиметр метана поглотит $q$-ю часть этой оставшейся энергии излучения. В результате после того, как излучение пройдет слой метана толщиной 2 см, энергия излучения будет равна $(1- q)^{2}E_{0}$, и т. д. После прохождения слоя метана толщины $x$ энергия излучения будет
$E = (1 - q)^{x}E_{0}$,
то есть составлять $(1 - q)^{x}$ часть первоначального излучения.
$(1 - 0,98)^{ \frac{1,4 \cdot 10^{-6} \cdot 273 \cdot 8,3 \cdot 10^{3}}{10 \cdot 16 \cdot 10^{-2} } } \approx 0,02^{2}$ часть.
Инфракрасное излучение определенной длины волны поглощается метаном ($CH_{4}$). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения (то есть $q = 0,98$ часть энергии излучения). Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли?
Решение:
При расчете весовое содержание метана в атмосфере принять равным $\alpha = 1,4 \cdot 10^{-6}$.
Найдем вначале количество метана в вертикальном столбе земной атмосферы с площадью основания $S$. Давление этого столба на поверхность Земли равно атмосферному давлению $P_{0}$. С другой стороны, это давление равно силе тяжести воздушного столба, деленной на площадь $S$. Пренебрегая изменением ускорения силы тяжести с высотой (это можно сделать, так как граница атмосферы лежит на высоте около 200 км, а это много меньше радиуса Земли 6400 км), мы можем записать:
$P_{0} = \frac{mg}{S}$.
Отсюда
$m = \frac{P_{0}S }{g}$.
Умножив $m$ на $\alpha$, получим массу метана в этом столбе:
$m_{CH_{4}} = \alpha m = \frac{ \alpha P_{0}S }{g}$.
Теперь найдем, слой какой толщины $x$ составляла бы эта масса метана при нормальных условиях (площадь основания цилиндра по-прежнему равна $S$).
Запишем уравнение газового состояния:
$P_{0}Sx = \frac{m_{CH_{4} } }{ \mu} RT$,
где $Sx$ - объем массы метана $m_{CH_{4}}, \mu$ - масса одного киломоля метана ($\mu = 16 \frac{кг}{кмоль}$), $R = 8,3 \cdot 10^{3} \frac{дж}{град \cdot кмоль}$ - газовая постоянная, $T = 273^{ \circ} К$ - нормальная температура и $P_{0} = 1 атм$ - нормальное давление. Подставив в это уравнение выражение для массы метана, найдем
$x = \frac{ \alpha RT}{g \mu}$ м.
Если энергия излучения равна вначале $E_{0}$, то после того, как излучение пройдет слой толщиной $d = 1 см$, энергия излучения станет равна $(1 - q)E_{0}$. Следующий сантиметр метана поглотит $q$-ю часть этой оставшейся энергии излучения. В результате после того, как излучение пройдет слой метана толщиной 2 см, энергия излучения будет равна $(1- q)^{2}E_{0}$, и т. д. После прохождения слоя метана толщины $x$ энергия излучения будет
$E = (1 - q)^{x}E_{0}$,
то есть составлять $(1 - q)^{x}$ часть первоначального излучения.
$(1 - 0,98)^{ \frac{1,4 \cdot 10^{-6} \cdot 273 \cdot 8,3 \cdot 10^{3}}{10 \cdot 16 \cdot 10^{-2} } } \approx 0,02^{2}$ часть.
