Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11820
2019-11-28 
Цилиндр массы $m$ раскрутили и поместили между двумя закрепленными плоскостями, расположенными под углом $2 \alpha$ друг к другу (рис.). Зная, что коэффициент трения между цилиндром и плоскостями равен $k$, определить силы, с которыми цилиндр действует на плоскости.
Решение:
Рассмотрим равновесие цилиндра. На него действуют силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ нормальных реакций плоскостей, силы трения $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ и сила тяжести $m \vec{g}$. Поверхность цилиндра скользит по плоскостям поэтому $F_{1} = kN_{1}$ и $F_{2} = kN_{2}$.
Так как цилиндр находится в равновесии, то сумма проекции на любую ось всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Спроектируем все силы на две взаимно перпендикулярные оси - горизонтальную и вертикальную:
$-N_{1} \cos \alpha + N_{2} \cos \alpha + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \alpha = 0$,
$N_{1} \sin \alpha + N_{2} \sin \alpha + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \alpha - mg = 0$.
Подставив в эти уравнения значения $F_{1} = kN_{1}$ и $F_{2} = kN_{2}$, разделив левые и правые части на $\cos \alpha$, получим:
$(N_{1} + N_{2})k tg \alpha - N_{1} + N_{2} = 0$,
$(N_{1} + N_{2})tg \alpha + kN_{1} - kN_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha}$.
Решая уравнения совместно получим
$N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha} \frac{1 + k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
$N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha} \frac{1 - k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$.
Следовательно, силы трения
$F_{1} = \frac{mgk}{ \cos \alpha} \frac{1 + k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
$F_{2} = \frac{mgk}{ \cos \alpha} \frac{1 - k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
Зная силы, действующие на цилиндр, нетрудно найти силы, действующие со стороны цилиндра на плоскости. Согласно третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по направлению. На рисунке они отмечены синими векторами.
Так как сила $N_{2}$ не может быть отрицательной, то решение справедливо при $k tg \alpha \leq 1$. Если $k \geq \frac{1}{tg \alpha}$, то $N_{2} = 0$ и $F_{2} = 0$. При этом цилиндр или покоится, не касаясь левой наклонной плоскости, или поднимается вверх по правой наклонной плоскости.
Цилиндр массы $m$ раскрутили и поместили между двумя закрепленными плоскостями, расположенными под углом $2 \alpha$ друг к другу (рис.). Зная, что коэффициент трения между цилиндром и плоскостями равен $k$, определить силы, с которыми цилиндр действует на плоскости.
Решение:
Рассмотрим равновесие цилиндра. На него действуют силы $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ нормальных реакций плоскостей, силы трения $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ и сила тяжести $m \vec{g}$. Поверхность цилиндра скользит по плоскостям поэтому $F_{1} = kN_{1}$ и $F_{2} = kN_{2}$.
Так как цилиндр находится в равновесии, то сумма проекции на любую ось всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Спроектируем все силы на две взаимно перпендикулярные оси - горизонтальную и вертикальную:
$-N_{1} \cos \alpha + N_{2} \cos \alpha + F_{1} \sin \alpha + F_{2} \sin \alpha = 0$,
$N_{1} \sin \alpha + N_{2} \sin \alpha + F_{1} \cos \alpha - F_{2} \cos \alpha - mg = 0$.
Подставив в эти уравнения значения $F_{1} = kN_{1}$ и $F_{2} = kN_{2}$, разделив левые и правые части на $\cos \alpha$, получим:
$(N_{1} + N_{2})k tg \alpha - N_{1} + N_{2} = 0$,
$(N_{1} + N_{2})tg \alpha + kN_{1} - kN_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha}$.
Решая уравнения совместно получим
$N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha} \frac{1 + k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
$N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha} \frac{1 - k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$.
Следовательно, силы трения
$F_{1} = \frac{mgk}{ \cos \alpha} \frac{1 + k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
$F_{2} = \frac{mgk}{ \cos \alpha} \frac{1 - k tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + k^{2} ) }$,
Зная силы, действующие на цилиндр, нетрудно найти силы, действующие со стороны цилиндра на плоскости. Согласно третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по направлению. На рисунке они отмечены синими векторами.
Так как сила $N_{2}$ не может быть отрицательной, то решение справедливо при $k tg \alpha \leq 1$. Если $k \geq \frac{1}{tg \alpha}$, то $N_{2} = 0$ и $F_{2} = 0$. При этом цилиндр или покоится, не касаясь левой наклонной плоскости, или поднимается вверх по правой наклонной плоскости.
