Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1182
2016-10-20 
Идеальный газ находится в цилиндре с площадью основания $S$ под невесомым поршнем, который удерживается в равновесии пружиной, другой конец которой неподвижно закреплён (см. рисунок). Снаружи цилиндра — вакуум. Над этим газом требуется провести циклический процесс 1-2-3-1, показанный на $pV$-диаграмме. Для этого разрешается медленно нагревать и охлаждать газ, а также при переходе к каждому следующему участку процесса заменять пружину. Найдите жёсткости, начальные и конечные удлинения пружин, необходимых для реализации данного процесса. Значения давлений и объёмов газа в состояниях 1, 2 и 3 считайте известными.
Решение:
Рассмотрим процесс медленного нагревания или охлаждения газа под поршнем, который прикреплён к пружине жёсткостью $k$. Из условия равновесия поршня имеем $k(x — x_{0}) = p_{0}S$, где $p$ — давление газа, $x$ — координата нижней поверхности поршня, отсчитанная вверх от дна цилиндра, $x_{0}$ соответствует недеформированной пружине. Отсюда с учётом того, что $V = Sx$, получаем: $p = \frac{k}{S^{2}} (V - Sx_{0})$. Таким образом, графиком процесса на $pV$-диаграмме является прямая с угловым коэффициентом $\frac{ \Delta p}{ \Delta V} = \frac{k}{S^{2}}$, откуда
$k = S^{2} \frac{ \Delta p}{ \Delta V}$.
Удлинение пружины $\Delta x$ в зависимости от $p$ равно
$\Delta x = x - x_{0} = \frac{pS}{k} = \frac{p}{S} \cdot \frac{ \Delta V}{ \Delta p}$.
Из этих формул для участков 1-2, 2-3 и 3-1 циклического процесса с использованием $pV$-диаграммы получаем ответ. Жёсткости пружин:
$k_{12} = S^{2} \frac{p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}; k_{23} = S^{2} \frac{p_{3}-p_{2}}{V_{3}-V_{2}}; k_{31} = S^{2} \frac{p_{3}-p_{1}}{V_{3}-V_{1}}$.
Удлинения пружин:
$\Delta x_{12}^{нач} = \frac{p_{1}(V_{2}-V_{1})}{S(p_{2}-p_{1})}; \Delta x_{12}^{кон} = \frac{p_{2}(V_{2}-V_{1})}{S(p_{2}-p_{1})};$
$\Delta x_{23}^{нач} = \frac{p_{2}(V_{3}-V_{2})}{S(p_{3}-p_{2})}; \Delta x_{23}^{кон} = \frac{p_{3}(V_{3}-V_{2})}{S(p_{3}-p_{2})};$
$\Delta x_{31}^{нач} = \frac{p_{3}(V_{3}-V_{1})}{S(p_{3}-p_{1})}; \Delta x_{31}^{кон} = \frac{p_{1}(V_{3}-V_{1})}{S(p_{3}-p_{1})};$
Идеальный газ находится в цилиндре с площадью основания $S$ под невесомым поршнем, который удерживается в равновесии пружиной, другой конец которой неподвижно закреплён (см. рисунок). Снаружи цилиндра — вакуум. Над этим газом требуется провести циклический процесс 1-2-3-1, показанный на $pV$-диаграмме. Для этого разрешается медленно нагревать и охлаждать газ, а также при переходе к каждому следующему участку процесса заменять пружину. Найдите жёсткости, начальные и конечные удлинения пружин, необходимых для реализации данного процесса. Значения давлений и объёмов газа в состояниях 1, 2 и 3 считайте известными.
Решение:
Рассмотрим процесс медленного нагревания или охлаждения газа под поршнем, который прикреплён к пружине жёсткостью $k$. Из условия равновесия поршня имеем $k(x — x_{0}) = p_{0}S$, где $p$ — давление газа, $x$ — координата нижней поверхности поршня, отсчитанная вверх от дна цилиндра, $x_{0}$ соответствует недеформированной пружине. Отсюда с учётом того, что $V = Sx$, получаем: $p = \frac{k}{S^{2}} (V - Sx_{0})$. Таким образом, графиком процесса на $pV$-диаграмме является прямая с угловым коэффициентом $\frac{ \Delta p}{ \Delta V} = \frac{k}{S^{2}}$, откуда
$k = S^{2} \frac{ \Delta p}{ \Delta V}$.
Удлинение пружины $\Delta x$ в зависимости от $p$ равно
$\Delta x = x - x_{0} = \frac{pS}{k} = \frac{p}{S} \cdot \frac{ \Delta V}{ \Delta p}$.
Из этих формул для участков 1-2, 2-3 и 3-1 циклического процесса с использованием $pV$-диаграммы получаем ответ. Жёсткости пружин:
$k_{12} = S^{2} \frac{p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}; k_{23} = S^{2} \frac{p_{3}-p_{2}}{V_{3}-V_{2}}; k_{31} = S^{2} \frac{p_{3}-p_{1}}{V_{3}-V_{1}}$.
Удлинения пружин:
$\Delta x_{12}^{нач} = \frac{p_{1}(V_{2}-V_{1})}{S(p_{2}-p_{1})}; \Delta x_{12}^{кон} = \frac{p_{2}(V_{2}-V_{1})}{S(p_{2}-p_{1})};$
$\Delta x_{23}^{нач} = \frac{p_{2}(V_{3}-V_{2})}{S(p_{3}-p_{2})}; \Delta x_{23}^{кон} = \frac{p_{3}(V_{3}-V_{2})}{S(p_{3}-p_{2})};$
$\Delta x_{31}^{нач} = \frac{p_{3}(V_{3}-V_{1})}{S(p_{3}-p_{1})}; \Delta x_{31}^{кон} = \frac{p_{1}(V_{3}-V_{1})}{S(p_{3}-p_{1})};$
