Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11819
2019-11-28 
Легкая стеклянная трубка длины $l$ и поперечного сечения $S$, заполненная целиком ртутью и запаянная с одного конца, расположена горизонтально в резервуаре со ртутью вблизи поверхности. Какую минимальную работу надо совершить для того, чтобы перевести трубку в вертикальное положение, в котором она будет касаться открытым концом поверхности ртути?
Решение:
Работа, необходимая для перемещения трубки, не зависит от способа, которым мы будем переводить трубку в вертикальное положение. Можно, например, поворачивать трубку вокруг ее открытого конца, можно повернуть трубку вокруг середины и затем вытащить из ртути и, наконец, можно повернуть ее вокруг закрытого конца и затем снова вытащить из ртути. Удобнее всего рассмотреть последний способ.
При перемещении части ртути внутри резервуара из одного места в другое работа ие затрачивается, так как потенциальная энергия системы не меняется. Поэтому при повороте трубки вокруг ее запаянного конца работа также не затрачивается. Следовательно, нужно учитывать только работу, необходимую для "вытаскивания" трубки из ртути.
Если конец трубки находится над поверхностью на высоте $x$ (рис.), то сверху на него действует сила атмосферного давления $F_{1} = P_{0}S$, а снизу на донышко трубки действует сила $F_{2} = PS$, где $P$ - давление на донышко. $P$ можно найти, записав условие равновесия столба ртути в трубке
$P + \rho gx = P_{0}$.
(Давление в точке В должно быть равно $P_{0}$.) Отсюда
$P = P_{0} - \rho gx$.
Сила, с которой нужно вытаскивать трубку, очевидно, равна разности сил $F_{1}$ и $F_{2}$:
$F = F_{1} - F_{2} = \rho gxS$.
Эта сила пропорциональна $x$.
Однако это верно только до тех пор, пока $P$ не стало равным нулю, то есть при
$x \leq \frac{P_{0} }{ \rho g} = 0,76 м$.
Если длина трубки $l$ больше $x_{1} = \frac{P_{0}}{ \rho g} = 0,76 м$, то при $x > x_{1}$ $P = 0$ (давлением паров ртути можно пренебречь), и сила, с которой нужно "тащить" трубку, равна просто $F_{1} = P_{0}S$.
Нарисуем график зависимости силы $F$ от $x$ (рис.). Работа, необходимая для вытаскивания трубки, равна площади фигуры под этим графиком. Поэтому, если $l < x_{1}$, то
$A = \frac{1}{2} \rho g l S \cdot l = \frac{1}{2} \rho g Sl^{2}$.
При $l > x_{1}$
$A = \frac{1}{2} \rho gSx_{1}^{2} + P_{0}S (l - x_{1}) = \frac{1}{2} P_{0}Sx_{1} + P_{0}S(l - x_{1} ) = P_{0}S \left ( l - \frac{1}{2}x_{1} \right )$.
Легкая стеклянная трубка длины $l$ и поперечного сечения $S$, заполненная целиком ртутью и запаянная с одного конца, расположена горизонтально в резервуаре со ртутью вблизи поверхности. Какую минимальную работу надо совершить для того, чтобы перевести трубку в вертикальное положение, в котором она будет касаться открытым концом поверхности ртути?
Решение:
Работа, необходимая для перемещения трубки, не зависит от способа, которым мы будем переводить трубку в вертикальное положение. Можно, например, поворачивать трубку вокруг ее открытого конца, можно повернуть трубку вокруг середины и затем вытащить из ртути и, наконец, можно повернуть ее вокруг закрытого конца и затем снова вытащить из ртути. Удобнее всего рассмотреть последний способ.
При перемещении части ртути внутри резервуара из одного места в другое работа ие затрачивается, так как потенциальная энергия системы не меняется. Поэтому при повороте трубки вокруг ее запаянного конца работа также не затрачивается. Следовательно, нужно учитывать только работу, необходимую для "вытаскивания" трубки из ртути.
Если конец трубки находится над поверхностью на высоте $x$ (рис.), то сверху на него действует сила атмосферного давления $F_{1} = P_{0}S$, а снизу на донышко трубки действует сила $F_{2} = PS$, где $P$ - давление на донышко. $P$ можно найти, записав условие равновесия столба ртути в трубке
$P + \rho gx = P_{0}$.
(Давление в точке В должно быть равно $P_{0}$.) Отсюда
$P = P_{0} - \rho gx$.
Сила, с которой нужно вытаскивать трубку, очевидно, равна разности сил $F_{1}$ и $F_{2}$:
$F = F_{1} - F_{2} = \rho gxS$.
Эта сила пропорциональна $x$.
Однако это верно только до тех пор, пока $P$ не стало равным нулю, то есть при
$x \leq \frac{P_{0} }{ \rho g} = 0,76 м$.
Если длина трубки $l$ больше $x_{1} = \frac{P_{0}}{ \rho g} = 0,76 м$, то при $x > x_{1}$ $P = 0$ (давлением паров ртути можно пренебречь), и сила, с которой нужно "тащить" трубку, равна просто $F_{1} = P_{0}S$.
Нарисуем график зависимости силы $F$ от $x$ (рис.). Работа, необходимая для вытаскивания трубки, равна площади фигуры под этим графиком. Поэтому, если $l < x_{1}$, то
$A = \frac{1}{2} \rho g l S \cdot l = \frac{1}{2} \rho g Sl^{2}$.
При $l > x_{1}$
$A = \frac{1}{2} \rho gSx_{1}^{2} + P_{0}S (l - x_{1}) = \frac{1}{2} P_{0}Sx_{1} + P_{0}S(l - x_{1} ) = P_{0}S \left ( l - \frac{1}{2}x_{1} \right )$.
