Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11817
2019-11-28 
Тело находится в точке А внутри неподвижной полой сферы (рис.). В каком случае тело скорее достигнет нижней точки В сферы: если оно будет скользить по поверхности сферы? если оно будет скользить вдоль прямой АВ? Трение в обоих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ много меньше радиуса сферы.
Решение:
Движение тела по поверхности сферы совершенно аналогично движению математического маятника с длиной подвеса, равной радиусу сферы $R$. Так как $AB \ll R$, то отклонение тела от положения равновесия (точки В) мало. Поэтому для периода колебаний маятника можно воспользоваться формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$. Время движения тела от точки А до точки В равно четверти периода колебаний, то есть
$t_{1} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Движение тела по наклонной плоскости - равноускоренное. Ускорение $a$ ему сообщает составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости. Если угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$, эта составляющая равна $mg \sin \alpha$. Так как $AB = \frac{at_{2}^{2} }{2}$ ($t_{2}$ - время движения тела по наклонной плоскости) и $AB = 2R \sin \alpha$, то
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2AB}{a} } = \sqrt{ \frac{4R \sin \alpha}{g \sin \alpha} } = 2 \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Мы получили $t_{2} > t_{1}$, то есть тело достигнет точки быстрее в том случае, если оно будет двигаться по поверхности сферы.
Тело находится в точке А внутри неподвижной полой сферы (рис.). В каком случае тело скорее достигнет нижней точки В сферы: если оно будет скользить по поверхности сферы? если оно будет скользить вдоль прямой АВ? Трение в обоих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ много меньше радиуса сферы.
Решение:
Движение тела по поверхности сферы совершенно аналогично движению математического маятника с длиной подвеса, равной радиусу сферы $R$. Так как $AB \ll R$, то отклонение тела от положения равновесия (точки В) мало. Поэтому для периода колебаний маятника можно воспользоваться формулой $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$. Время движения тела от точки А до точки В равно четверти периода колебаний, то есть
$t_{1} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Движение тела по наклонной плоскости - равноускоренное. Ускорение $a$ ему сообщает составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости. Если угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$, эта составляющая равна $mg \sin \alpha$. Так как $AB = \frac{at_{2}^{2} }{2}$ ($t_{2}$ - время движения тела по наклонной плоскости) и $AB = 2R \sin \alpha$, то
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2AB}{a} } = \sqrt{ \frac{4R \sin \alpha}{g \sin \alpha} } = 2 \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Мы получили $t_{2} > t_{1}$, то есть тело достигнет точки быстрее в том случае, если оно будет двигаться по поверхности сферы.
