Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11801
2019-11-28 
Сосуд наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте $h$ от дна сосуда (рис.). Как изменится эта высота, когда лед растает?
Решение:
В том случае, когда кусок льда полностью покрыт керосином (как это показано на рисунке), задача решается очень просто.
Зафиксируем мысленно оболочку, охватывающую кусок льда, и растопим лед. Очевидно, объем образовавшейся воды будет меньше объема льда. Следовательно общий уровень жидкости в сосуде уменьшится.
Предположим теперь, что керосин не покрывает лед.
Ясно, что если бы в сосуде были только вода и лед, то после таяния льда уровень воды не изменился бы. Действительно, так как сила давления на дно сосуда равна весу содержимого сосуда, и он при таянии льда не меняется, то не меняется и сила давления на дно сосуда. Это означает, что не меняется и давление на дно сосуда. Но лед не оказывает непосредственного давления на дно - он плавает. Поэтому давление на дно равно давлению воды
$P = \rho_{в}gh_{в}$.
После таяния льда давление тоже равно давлению воды
$P = \rho_{в}gh_{в}^{ \prime}$.
Это означает, что $h_{в} = h_{в}^{ \prime}$
В нашем случае давление на дне тоже не меняется. Но теперь оно равно сумме давлений столбов воды и керосина
$P = \rho_{в}gh_{1} + \rho_{к} g(h - h_{1} ) = ( \rho_{в} - \rho_{к} )gh_{1} + \rho_{к} gh$.
Если уровень воды в сосуде после таяния льда равен $h_{1}^{ \prime}$, а уровень керосина $h^{ \prime}$, то
$( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1}^{ \prime} + \rho_{к}gh^{ \prime} = ( \rho_{в} - \rho_{к} ) gh_{1} + \rho_{к}gh$.
Пусть объем льда, находящийся в воде, равен $V_{1}$, объем льда, находящийся в керосине, равен $V_{2}$, а масса льда равна $m$. Представим себе, что, убрав лед, мы оставили его невесомую оболочку и налили в нее воду и керосин так, что уровень их в оболочке совпадает с уровнем воды в сосуде. Ясно что эта оболочка будет находится в равновесии. Но это означает, что на оболочку со стороны воды действует архимедова выталкивающая сила $F$, равная весу налитых в оболочку жидкостей
$F = \rho_{в}gV_{1} + \rho_{к}gV_{2}$.
Если в оболочку поместить сам лед то cила $F$ но изменится. Но лед плавает. Это означает, что $F = mg$ и
$\rho_{в}gV_{1} + \rho_{к} gV_{2} = mg$. (1)
Если бы в сосуде находились только лед и вода, то в воде находился бы такой объем льда $V_{1}^{ \prime}$, что
$\rho_{в}gV_{1}^{ \prime} = mg$. (2)
Из формул (1) и (2) следует, что в нашем случае в воде находится объем $V_{1}$, который меньше $V_{1}^{ \prime}$, то есть меньше объема льда, который был бы погружен в воду в отсутствие керосина над ним. Но в последнем случае, как мы показали, уровень воды в сосуде не изменился бы. Это означает, что вода, образовавшаяся при таянии льда, заполнила бы как раз объем $V_{1}^{ \prime}$ погруженной в воду части льда.
В нашем случае объем воды, образовавшийся при таянии льда, тот же, а объем погруженной в воду части льда $V_{1}^{ \prime}$ меньше. Поэтому при таянии льда уровень воды в сосуде повысится: $h_{1}^{ \prime} > h_{1}$. Но давление на дно сосуда должно остаться прежним. Поэтому
$( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1} + \rho_{к}gh = ( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1}^{ \prime} + \rho_{к}gh^{ \prime}$
$( \rho_{в} - \rho_{к} )(h_{1}^{ \prime} - h_{1}) = \rho_{к} (h - h^{ \prime})$.
Так как $h_{1}^{ \prime} > h_{1}$, то $h > h^{ \prime}$: уровень керосина в сосуде при таянии льда уменьшится.
Сосуд наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте $h$ от дна сосуда (рис.). Как изменится эта высота, когда лед растает?
Решение:
В том случае, когда кусок льда полностью покрыт керосином (как это показано на рисунке), задача решается очень просто.
Зафиксируем мысленно оболочку, охватывающую кусок льда, и растопим лед. Очевидно, объем образовавшейся воды будет меньше объема льда. Следовательно общий уровень жидкости в сосуде уменьшится.
Предположим теперь, что керосин не покрывает лед.
Ясно, что если бы в сосуде были только вода и лед, то после таяния льда уровень воды не изменился бы. Действительно, так как сила давления на дно сосуда равна весу содержимого сосуда, и он при таянии льда не меняется, то не меняется и сила давления на дно сосуда. Это означает, что не меняется и давление на дно сосуда. Но лед не оказывает непосредственного давления на дно - он плавает. Поэтому давление на дно равно давлению воды
$P = \rho_{в}gh_{в}$.
После таяния льда давление тоже равно давлению воды
$P = \rho_{в}gh_{в}^{ \prime}$.
Это означает, что $h_{в} = h_{в}^{ \prime}$
В нашем случае давление на дне тоже не меняется. Но теперь оно равно сумме давлений столбов воды и керосина
$P = \rho_{в}gh_{1} + \rho_{к} g(h - h_{1} ) = ( \rho_{в} - \rho_{к} )gh_{1} + \rho_{к} gh$.
Если уровень воды в сосуде после таяния льда равен $h_{1}^{ \prime}$, а уровень керосина $h^{ \prime}$, то
$( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1}^{ \prime} + \rho_{к}gh^{ \prime} = ( \rho_{в} - \rho_{к} ) gh_{1} + \rho_{к}gh$.
Пусть объем льда, находящийся в воде, равен $V_{1}$, объем льда, находящийся в керосине, равен $V_{2}$, а масса льда равна $m$. Представим себе, что, убрав лед, мы оставили его невесомую оболочку и налили в нее воду и керосин так, что уровень их в оболочке совпадает с уровнем воды в сосуде. Ясно что эта оболочка будет находится в равновесии. Но это означает, что на оболочку со стороны воды действует архимедова выталкивающая сила $F$, равная весу налитых в оболочку жидкостей
$F = \rho_{в}gV_{1} + \rho_{к}gV_{2}$.
Если в оболочку поместить сам лед то cила $F$ но изменится. Но лед плавает. Это означает, что $F = mg$ и
$\rho_{в}gV_{1} + \rho_{к} gV_{2} = mg$. (1)
Если бы в сосуде находились только лед и вода, то в воде находился бы такой объем льда $V_{1}^{ \prime}$, что
$\rho_{в}gV_{1}^{ \prime} = mg$. (2)
Из формул (1) и (2) следует, что в нашем случае в воде находится объем $V_{1}$, который меньше $V_{1}^{ \prime}$, то есть меньше объема льда, который был бы погружен в воду в отсутствие керосина над ним. Но в последнем случае, как мы показали, уровень воды в сосуде не изменился бы. Это означает, что вода, образовавшаяся при таянии льда, заполнила бы как раз объем $V_{1}^{ \prime}$ погруженной в воду части льда.
В нашем случае объем воды, образовавшийся при таянии льда, тот же, а объем погруженной в воду части льда $V_{1}^{ \prime}$ меньше. Поэтому при таянии льда уровень воды в сосуде повысится: $h_{1}^{ \prime} > h_{1}$. Но давление на дно сосуда должно остаться прежним. Поэтому
$( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1} + \rho_{к}gh = ( \rho_{в} - \rho_{к})gh_{1}^{ \prime} + \rho_{к}gh^{ \prime}$
$( \rho_{в} - \rho_{к} )(h_{1}^{ \prime} - h_{1}) = \rho_{к} (h - h^{ \prime})$.
Так как $h_{1}^{ \prime} > h_{1}$, то $h > h^{ \prime}$: уровень керосина в сосуде при таянии льда уменьшится.
