Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1180
2016-10-20 
Теплоизолированный закрытый вертикальный цилиндр разделён на две равные части тонким массивным теплопроводящим поршнем. Сверху и снизу от поршня, закреплённого вначале посередине цилиндра, находятся одинаковые количества идеального одноатомного газа при температуре $T$ и давлении $p$. После освобождения поршня он сместился вниз на некоторое расстояние и остановился в новом положении равновесия, при котором разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра равняется $\Delta p$. Найдите, на какую величину $\Delta T$ изменилась при этом температура газа. Теплоёмкостью поршня и стенок цилиндра пренебречь.
Решение:
Обозначим площадь цилиндра через $S$, массу поршня через $m$, объём цилиндра через $2V$, а количество содержащегося в нём газа — через $2 \nu$. Тогда для газа в исходном состоянии справедливо уравнение Менделеева — Клапейрона:
$pV = \nu RT$.
Пусть после освобождения поршня он перешёл в положение равновесия, опустившись на расстояние $h$. При этом температура газа увеличилась на величину $\Delta T$, давление в нижней части цилиндра возросло по сравнению с исходным на некоторую величину $\Delta p_{1}$, а в верхней — уменьшилось на некоторую величину $\Delta p_{2}$. После опускания поршня уравнение Менделеева — Клапейрона для порций газа, находящихся под поршнем и над ним, имеет вид:
$(p + \Delta p_{1})(V - Sh) = \nu R(T + \Delta T)$,
$(p - \Delta p_{2})(V + Sh) = \nu R(T + \Delta T)$.
Так как поршень после опускания находится в равновесии, то
$\Delta p_{1} + \Delta p_{2} = \Delta p = \frac{mg}{S}$.
При опускании поршня изменение его потенциальной энергии в поле силы тяжести $mgh$ пошло на изменение внутренней энергии газов $(3/2) \cdot 2 \nu \cdot R \Delta T$.
Следовательно, $mgh = 3 \nu R \Delta T$, откуда
$h = 3 \nu R \Delta T/(mg)$.
Решим полученную систему, состоящую из пяти уравнений. Для этого выразим из первого уравнения объём $V$, из четвёртого — площадь $S$, и преобразуем второе и
третье уравнения с учётом пятого:
$(p+ \Delta p_{1}) \left ( \frac{T}{p} - \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right ) = T + \Delta T, (p - \Delta p_{2}) \left ( \frac{T}{p} + \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right ) = T + \Delta T$
Деля эти уравнения на выражения $\left ( \frac{T}{p} \mp \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right )$ и затем вычитая получившиеся уравнения друг из друга, получим:
$\Delta p_{1} + \Delta p_{2} = (T + \Delta T)p \Delta p \left ( \frac{1}{T \Delta p - 3p \Delta T} - \frac{1}{T \Delta p + 3p \Delta T} \right ) = \frac{(T+ \Delta T)6p^{2} \Delta T \Delta p}{T^{2} ( \Delta p)^{2} - 9p^{2} ( \Delta T)^{2}} = \Delta p$.
Преобразовывая последнее соотношение, получим квадратное уравнение относительно искомой величины $\Delta T$:
$15p^{2}( \Delta T)^{2} + 6p^{2} T \Delta T - T^{2} ( \Delta p)^{2} = 0$.
Дискриминант этого уравнения равен
$D = 36 p^{4} T^{4} + 60 p^{2} T^{2} ( \Delta p)^{2} = 36p^{4} T^{2} \left ( 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2} \right )$,
а интересующий нас положительный корень:
$\Delta T = \frac{1}{30p^{2}} \left ( - 6p^{2}T + 6p^{2}T \sqrt{ 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2} } \right ) = \frac{T}{5} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2}} \right )$.
Теплоизолированный закрытый вертикальный цилиндр разделён на две равные части тонким массивным теплопроводящим поршнем. Сверху и снизу от поршня, закреплённого вначале посередине цилиндра, находятся одинаковые количества идеального одноатомного газа при температуре $T$ и давлении $p$. После освобождения поршня он сместился вниз на некоторое расстояние и остановился в новом положении равновесия, при котором разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра равняется $\Delta p$. Найдите, на какую величину $\Delta T$ изменилась при этом температура газа. Теплоёмкостью поршня и стенок цилиндра пренебречь.
Решение:
Обозначим площадь цилиндра через $S$, массу поршня через $m$, объём цилиндра через $2V$, а количество содержащегося в нём газа — через $2 \nu$. Тогда для газа в исходном состоянии справедливо уравнение Менделеева — Клапейрона:
$pV = \nu RT$.
Пусть после освобождения поршня он перешёл в положение равновесия, опустившись на расстояние $h$. При этом температура газа увеличилась на величину $\Delta T$, давление в нижней части цилиндра возросло по сравнению с исходным на некоторую величину $\Delta p_{1}$, а в верхней — уменьшилось на некоторую величину $\Delta p_{2}$. После опускания поршня уравнение Менделеева — Клапейрона для порций газа, находящихся под поршнем и над ним, имеет вид:
$(p + \Delta p_{1})(V - Sh) = \nu R(T + \Delta T)$,
$(p - \Delta p_{2})(V + Sh) = \nu R(T + \Delta T)$.
Так как поршень после опускания находится в равновесии, то
$\Delta p_{1} + \Delta p_{2} = \Delta p = \frac{mg}{S}$.
При опускании поршня изменение его потенциальной энергии в поле силы тяжести $mgh$ пошло на изменение внутренней энергии газов $(3/2) \cdot 2 \nu \cdot R \Delta T$.
Следовательно, $mgh = 3 \nu R \Delta T$, откуда
$h = 3 \nu R \Delta T/(mg)$.
Решим полученную систему, состоящую из пяти уравнений. Для этого выразим из первого уравнения объём $V$, из четвёртого — площадь $S$, и преобразуем второе и
третье уравнения с учётом пятого:
$(p+ \Delta p_{1}) \left ( \frac{T}{p} - \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right ) = T + \Delta T, (p - \Delta p_{2}) \left ( \frac{T}{p} + \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right ) = T + \Delta T$
Деля эти уравнения на выражения $\left ( \frac{T}{p} \mp \frac{3 \Delta T}{ \Delta p} \right )$ и затем вычитая получившиеся уравнения друг из друга, получим:
$\Delta p_{1} + \Delta p_{2} = (T + \Delta T)p \Delta p \left ( \frac{1}{T \Delta p - 3p \Delta T} - \frac{1}{T \Delta p + 3p \Delta T} \right ) = \frac{(T+ \Delta T)6p^{2} \Delta T \Delta p}{T^{2} ( \Delta p)^{2} - 9p^{2} ( \Delta T)^{2}} = \Delta p$.
Преобразовывая последнее соотношение, получим квадратное уравнение относительно искомой величины $\Delta T$:
$15p^{2}( \Delta T)^{2} + 6p^{2} T \Delta T - T^{2} ( \Delta p)^{2} = 0$.
Дискриминант этого уравнения равен
$D = 36 p^{4} T^{4} + 60 p^{2} T^{2} ( \Delta p)^{2} = 36p^{4} T^{2} \left ( 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2} \right )$,
а интересующий нас положительный корень:
$\Delta T = \frac{1}{30p^{2}} \left ( - 6p^{2}T + 6p^{2}T \sqrt{ 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2} } \right ) = \frac{T}{5} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{5}{3} \cdot \left ( \frac{ \Delta p}{p} \right )^{2}} \right )$.
