Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11799
2019-11-28 
Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость горения шнура равна $v$, скорость распространения взрывной волны по воздуху $c$. Найти форму линии, по которой нужно расположить шнур, чтобы волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно.
Можно ли сделать то же самое с поверхностью со взрывчаткой и получить сходящуюся сферическую волну с большой плотностью энергии?
Решение:
Если скорость распространения взрывной волны больше скорости горения шнура, то расположить шнур так, чтобы взрывные волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно, невозможно. Если $v=c$, то шнур, очевидно, нужно расположить по прямой, проходящей через заданную точку. В случае $v > c$ ответ не так очевиден. Разберем этот случай подробнее.
Пусть красная кривая на рисунке - это линия, по которой нужно расположить шнур для того, чтобы взрывные волны пришли в точку О одновременно. Выберем на линии две близкие точки А и В такие, чтобы кривую АВ можно было считать прямой (для этого отрезок АВ должен быть много меньше расстояний $r_{0}$ и $r_{1}$ от точки О до точек А и В). Время, за которое сгорает участок шнура АВ, обозначим $\tau$. Тогда $AB = v \tau$. Малость АВ означает, что $\tau$ мало. При $\tau \rightarrow 0$ точка В "стремится" к точке А, а направление отрезка АВ - к направлению касательной к красной кривой в точке А.
Найдем угол $\alpha$, который образует отрезок АВ с радиусом ОА. Для этого отложим на радиусе ОА отрезок ОС, равный длине радиуса $r_{2}$, и проведем отрезок ВС. Так как отрезок АВ мал, то отрезок ВС совпадает с дугой окружности радиуса $r_{1}$ с центром в точке О и угол АСВ близок к прямому (а при $\tau \rightarrow 0, ACB \rightarrow \frac{ \pi}{2}$). Это означает, что
$\cos \alpha = \frac{AC}{AB}$.
Но $AB = v \tau$, а $AC = r_{0} - r_{1}$. Так как время распространения взрывной волны из точки В должно быть на $\tau$ меньше времени распространения волны из точки А, то $r_{1} = r_{0} - c \tau$. Следовательно, $AC = r_{0} - r_{0} + c \tau = c \tau$ и
$\cos \alpha = \frac{c \tau}{v \tau} = \frac{c}{v}$.
Таким образом, угол, образуемый касательной к красной кривой и радиусом, проведенным к точке кривой из точки О, не зависит от расстояния кривой до точки О, и красная кривая пересекает все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же углом $\alpha = arccos \frac{c}{v}$. Таким свойством, как известно, обладает логарифмическая спираль. Значит, кривая, по которой нужно расположить цшур - это логарифмическая спираль. Ее уравнение в полярных координатах $r = r_{0}e^{- \phi ctg \alpha}$. Это уравнение можно получить к непосредственно.
Разделим угол $\phi$ на малые углы $\Delta$. Тогда кривая разделится на $k$ частей где $k = \frac{ \phi}{ \Delta}$. Найдем изменение радиуса $r$ при его повороте на угол $\Delta$:
$r_{1} = r_{0} - AC = r_{0} - CB ctg \alpha$.
Но $CB = r_{1} \cdot \Delta$, следовательно.
$r_{1} = r_{0} - r_{1} \Delta ctg \alpha$.
Отсюда
$r_{1} = \frac{r_{0} }{1 + \Delta ctg \alpha}$.
Аналогично
$r_{2} = \frac{r_{1} }{1 + \Delta ctg \alpha } = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{2}$;
$r_{3} = \frac{r_{2} }{1 + \Delta ctg \alpha} = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{3}$;
$\cdots$
$r = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{k}$.
Ho $k = \frac{ \phi}{ \Delta}$, следовательно,
$r = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{ \frac{ \phi}{ \Delta} } = r_{0}l^{ \frac{ \phi}{ \Delta} ln \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right ) }$.
Так как при малых $x$($x \ll 1$) $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$, а $ln(1 - x) \approx -x$, то
$r = r_{0}e^{ \frac{ \phi}{ \Delta } ( - \Delta ctg \alpha) } = r_{0}e^{ - \phi ctg \alpha }$.
Можно, конечно, и поверхность сделать такой, чтобы взрывные волны от всех ее точек пришли в заданную точку одновременно. Она должна быть поверхностью вращения логарифмической спирали вокруг оси, проходящей через заданную точку и лежащей в плоскости спирали.
Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость горения шнура равна $v$, скорость распространения взрывной волны по воздуху $c$. Найти форму линии, по которой нужно расположить шнур, чтобы волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно.
Можно ли сделать то же самое с поверхностью со взрывчаткой и получить сходящуюся сферическую волну с большой плотностью энергии?
Решение:
Если скорость распространения взрывной волны больше скорости горения шнура, то расположить шнур так, чтобы взрывные волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно, невозможно. Если $v=c$, то шнур, очевидно, нужно расположить по прямой, проходящей через заданную точку. В случае $v > c$ ответ не так очевиден. Разберем этот случай подробнее.
Пусть красная кривая на рисунке - это линия, по которой нужно расположить шнур для того, чтобы взрывные волны пришли в точку О одновременно. Выберем на линии две близкие точки А и В такие, чтобы кривую АВ можно было считать прямой (для этого отрезок АВ должен быть много меньше расстояний $r_{0}$ и $r_{1}$ от точки О до точек А и В). Время, за которое сгорает участок шнура АВ, обозначим $\tau$. Тогда $AB = v \tau$. Малость АВ означает, что $\tau$ мало. При $\tau \rightarrow 0$ точка В "стремится" к точке А, а направление отрезка АВ - к направлению касательной к красной кривой в точке А.
Найдем угол $\alpha$, который образует отрезок АВ с радиусом ОА. Для этого отложим на радиусе ОА отрезок ОС, равный длине радиуса $r_{2}$, и проведем отрезок ВС. Так как отрезок АВ мал, то отрезок ВС совпадает с дугой окружности радиуса $r_{1}$ с центром в точке О и угол АСВ близок к прямому (а при $\tau \rightarrow 0, ACB \rightarrow \frac{ \pi}{2}$). Это означает, что
$\cos \alpha = \frac{AC}{AB}$.
Но $AB = v \tau$, а $AC = r_{0} - r_{1}$. Так как время распространения взрывной волны из точки В должно быть на $\tau$ меньше времени распространения волны из точки А, то $r_{1} = r_{0} - c \tau$. Следовательно, $AC = r_{0} - r_{0} + c \tau = c \tau$ и
$\cos \alpha = \frac{c \tau}{v \tau} = \frac{c}{v}$.
Таким образом, угол, образуемый касательной к красной кривой и радиусом, проведенным к точке кривой из точки О, не зависит от расстояния кривой до точки О, и красная кривая пересекает все лучи, выходящие из точки О под одним и тем же углом $\alpha = arccos \frac{c}{v}$. Таким свойством, как известно, обладает логарифмическая спираль. Значит, кривая, по которой нужно расположить цшур - это логарифмическая спираль. Ее уравнение в полярных координатах $r = r_{0}e^{- \phi ctg \alpha}$. Это уравнение можно получить к непосредственно.
Разделим угол $\phi$ на малые углы $\Delta$. Тогда кривая разделится на $k$ частей где $k = \frac{ \phi}{ \Delta}$. Найдем изменение радиуса $r$ при его повороте на угол $\Delta$:
$r_{1} = r_{0} - AC = r_{0} - CB ctg \alpha$.
Но $CB = r_{1} \cdot \Delta$, следовательно.
$r_{1} = r_{0} - r_{1} \Delta ctg \alpha$.
Отсюда
$r_{1} = \frac{r_{0} }{1 + \Delta ctg \alpha}$.
Аналогично
$r_{2} = \frac{r_{1} }{1 + \Delta ctg \alpha } = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{2}$;
$r_{3} = \frac{r_{2} }{1 + \Delta ctg \alpha} = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{3}$;
$\cdots$
$r = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{k}$.
Ho $k = \frac{ \phi}{ \Delta}$, следовательно,
$r = r_{0} \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right )^{ \frac{ \phi}{ \Delta} } = r_{0}l^{ \frac{ \phi}{ \Delta} ln \left ( \frac{1}{1 + \Delta ctg \alpha} \right ) }$.
Так как при малых $x$($x \ll 1$) $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$, а $ln(1 - x) \approx -x$, то
$r = r_{0}e^{ \frac{ \phi}{ \Delta } ( - \Delta ctg \alpha) } = r_{0}e^{ - \phi ctg \alpha }$.
Можно, конечно, и поверхность сделать такой, чтобы взрывные волны от всех ее точек пришли в заданную точку одновременно. Она должна быть поверхностью вращения логарифмической спирали вокруг оси, проходящей через заданную точку и лежащей в плоскости спирали.
