Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11791
2019-11-28 
Из пушки делают две серии выстрелов, наклонив ствол под углами $30^{ \circ}$ и $40^{ \circ}$ к горизонту. В каком случае попадания снарядов будут более кучными, если разброс вызван неточным прицеливанием, а не разбросом начальных скоростей снарядов? Сопротивление воздуха считать пренебрежимо малым.
Решение:
Найдем вначале зависимость дальности полета снаряда от угла его вылета. Запишем для этого кинематические уравнения движения снаряда. Если скорость снаряда равна $v_{0}$, а угол, под которым снаряд вылетает из орудия, равен $\alpha$, то в вертикальном направлении вдоль оси $y$ снаряд движется с ускорением $a = -g$ и начальной скоростью $v_{0y} =v_{0} \sin \alpha$. Поэтому изменение координаты $y$ снаряда определяется уравнением
$y = v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
По горизонтали вдоль оси $x$ снаряд движется равномерно со скоростью $v_{x} = v_{0} \cos \alpha$. Поэтому
$x = v_{0}t \cos \alpha$.
В момент падения на землю $y = 0$ и
$v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} = 0$.
Отсюда можно найти время движения снаряда. Оно равно $t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$. Подставляя теперь это выражение в уравнение движения по горизонтали, найдем, что дальность полета снаряда равна
$x_{max} = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g}$.
Это выражение максимально при $\sin \sin 2 \alpha = 1$, то есть при $\alpha = 45^{ \circ}$.
Нарисуем график зависимости дальности полета снаряда от $\alpha$ (рис.). При малых отклонениях $\Delta \alpha$ угла вылета снаряда график зависимости $x_{max} ( \alpha)$ можно заменить прямой - касательной к действительному графику $x_{ max}( \alpha)$. Чем больше наклон этой касательной, тем больше ошибка в дальности полета снаряда при одной и той же ошибке $\Delta \alpha$ в угле вылета снаряда.
Из рисунка видно, что при малых углах вылета снаряда угол наклона касательной к горизонту (к оси $0 \alpha$) больше, чем при больших. Это означает, что при малых углах вылета снаряда изменение дальности при изменении угла вылета больше, чем при больших, и при стрельбе с углом наклона ствола в $40^{ \circ}$ кучность попадания снарядов будет выше, чем при угле $30^{ \circ}$.
Этот же результат можно получить и с помощью формул. Пусть ошибка в угле вылета снаряда мала и составляет $\Delta \alpha$. Тогда ошибка $\Delta x$ в дальности полета снаряда составляет
$\Delta x = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha - \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin [2 ( \alpha + \Delta \alpha)] = 2 \frac{v_{0}^{2} }{g} \cos ( 2 \alpha + \Delta \alpha ) \sin \Delta \alpha \approx 2 \frac{v_{0}^{2} }{2} \cos 2 \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Таким образом, $\Delta x$ пропорционально $\Delta \alpha$, но коэффициент пропорциональности зависит от $\alpha$. Он тем больше чем меньше угол $\alpha$.
Из пушки делают две серии выстрелов, наклонив ствол под углами $30^{ \circ}$ и $40^{ \circ}$ к горизонту. В каком случае попадания снарядов будут более кучными, если разброс вызван неточным прицеливанием, а не разбросом начальных скоростей снарядов? Сопротивление воздуха считать пренебрежимо малым.
Решение:
Найдем вначале зависимость дальности полета снаряда от угла его вылета. Запишем для этого кинематические уравнения движения снаряда. Если скорость снаряда равна $v_{0}$, а угол, под которым снаряд вылетает из орудия, равен $\alpha$, то в вертикальном направлении вдоль оси $y$ снаряд движется с ускорением $a = -g$ и начальной скоростью $v_{0y} =v_{0} \sin \alpha$. Поэтому изменение координаты $y$ снаряда определяется уравнением
$y = v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$.
По горизонтали вдоль оси $x$ снаряд движется равномерно со скоростью $v_{x} = v_{0} \cos \alpha$. Поэтому
$x = v_{0}t \cos \alpha$.
В момент падения на землю $y = 0$ и
$v_{0} t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} = 0$.
Отсюда можно найти время движения снаряда. Оно равно $t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$. Подставляя теперь это выражение в уравнение движения по горизонтали, найдем, что дальность полета снаряда равна
$x_{max} = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g}$.
Это выражение максимально при $\sin \sin 2 \alpha = 1$, то есть при $\alpha = 45^{ \circ}$.
Нарисуем график зависимости дальности полета снаряда от $\alpha$ (рис.). При малых отклонениях $\Delta \alpha$ угла вылета снаряда график зависимости $x_{max} ( \alpha)$ можно заменить прямой - касательной к действительному графику $x_{ max}( \alpha)$. Чем больше наклон этой касательной, тем больше ошибка в дальности полета снаряда при одной и той же ошибке $\Delta \alpha$ в угле вылета снаряда.
Из рисунка видно, что при малых углах вылета снаряда угол наклона касательной к горизонту (к оси $0 \alpha$) больше, чем при больших. Это означает, что при малых углах вылета снаряда изменение дальности при изменении угла вылета больше, чем при больших, и при стрельбе с углом наклона ствола в $40^{ \circ}$ кучность попадания снарядов будет выше, чем при угле $30^{ \circ}$.
Этот же результат можно получить и с помощью формул. Пусть ошибка в угле вылета снаряда мала и составляет $\Delta \alpha$. Тогда ошибка $\Delta x$ в дальности полета снаряда составляет
$\Delta x = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha - \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin [2 ( \alpha + \Delta \alpha)] = 2 \frac{v_{0}^{2} }{g} \cos ( 2 \alpha + \Delta \alpha ) \sin \Delta \alpha \approx 2 \frac{v_{0}^{2} }{2} \cos 2 \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Таким образом, $\Delta x$ пропорционально $\Delta \alpha$, но коэффициент пропорциональности зависит от $\alpha$. Он тем больше чем меньше угол $\alpha$.
