Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11781
2019-11-28 
В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления $n$, проделано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда горизонтально направляют тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отрешения?
Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.
Решение:
Под наибольшим углом к поверхности води луч света падает в тотке А струи (рис.). Угол падения $\alpha$, при котором луч в этой точке не испытывает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что
$\sin \alpha = \frac{1}{n}$. (1)
Это следует из закона преломлений света $\left ( \frac{sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{1}{n} \right )$ и условия, что угол $\beta = 90^{ \circ}$. Касательная к струе в точке А составляет угол $\gamma = 90^{ \circ} - \alpha$ с горизонталью. Таким образом, луч света выйдет из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отражения, если угол, который образует касательная к струе в точке А, составляет с горизонтом угол $\gamma$ такой, что $\cos \gamma = \frac{1}{n}$.
Но касательная к поверхности жидкости - это касательная к траектории движения частиц, вышедших у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной к поверхности жидкости совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в точке А.
Эта скорость складывается из горизонтальной скорости $v_{1}$, которую имели частицы поды у отверстия сосуда, и из скорости $v_{2}$, приобретенной ими при свободном падении с высоты $2r$. Из закона сохранения энергии следует, что $\Delta mg \cdot 2r = \frac{ \Delta mv_{2}^{2}}{2}$ ($\Delta m$ - масса частицы воды), поэтому $v_{2} = \sqrt{4gr}$. Что же касается скорости $v_{1}$ вытекания жидкости из сосуда, то, как известно, она равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ - высота уровня воды над отверстием (Это следует также из закона сохранения энергии. Действительно, при вытекании массы воды $\Delta m$ из сосуда с жидкостью потенциальная энергия воды уменьшается на величину $\Delta mgh$ (можно просто считать, что масса воды $\Delta m$ переместилась с поверхности жидкости к отверстию).
Зная $v_{1}$ и $v_{2}$, нетрудно найти угол наклона касательной к поверхности жидкости в точке А к горнзонту:
$tg \gamma = \frac{v_{2} }{v_{1} } = \frac{ \sqrt{4gr} }{ \sqrt{2gh} } = \sqrt{ 2 \frac{r}{h} }$. (2)
Выражая теперь $\cos \gamma$ через $tg \gamma$ -
$\cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \gamma } }$
и учитывая, что $\cos \gamma = \frac{1}{n}$, получим
$\frac{1}{n} = \frac{1}{ \sqrt{1 + 2 \frac{r}{h} } }$.
Отсюда
$h = \frac{2r}{n^{2} - 1}$.
В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления $n$, проделано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда горизонтально направляют тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отрешения?
Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.
Решение:
Под наибольшим углом к поверхности води луч света падает в тотке А струи (рис.). Угол падения $\alpha$, при котором луч в этой точке не испытывает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что
$\sin \alpha = \frac{1}{n}$. (1)
Это следует из закона преломлений света $\left ( \frac{sin \alpha}{ \sin \beta} = \frac{1}{n} \right )$ и условия, что угол $\beta = 90^{ \circ}$. Касательная к струе в точке А составляет угол $\gamma = 90^{ \circ} - \alpha$ с горизонталью. Таким образом, луч света выйдет из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отражения, если угол, который образует касательная к струе в точке А, составляет с горизонтом угол $\gamma$ такой, что $\cos \gamma = \frac{1}{n}$.
Но касательная к поверхности жидкости - это касательная к траектории движения частиц, вышедших у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной к поверхности жидкости совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в точке А.
Эта скорость складывается из горизонтальной скорости $v_{1}$, которую имели частицы поды у отверстия сосуда, и из скорости $v_{2}$, приобретенной ими при свободном падении с высоты $2r$. Из закона сохранения энергии следует, что $\Delta mg \cdot 2r = \frac{ \Delta mv_{2}^{2}}{2}$ ($\Delta m$ - масса частицы воды), поэтому $v_{2} = \sqrt{4gr}$. Что же касается скорости $v_{1}$ вытекания жидкости из сосуда, то, как известно, она равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ - высота уровня воды над отверстием (Это следует также из закона сохранения энергии. Действительно, при вытекании массы воды $\Delta m$ из сосуда с жидкостью потенциальная энергия воды уменьшается на величину $\Delta mgh$ (можно просто считать, что масса воды $\Delta m$ переместилась с поверхности жидкости к отверстию).
Зная $v_{1}$ и $v_{2}$, нетрудно найти угол наклона касательной к поверхности жидкости в точке А к горнзонту:
$tg \gamma = \frac{v_{2} }{v_{1} } = \frac{ \sqrt{4gr} }{ \sqrt{2gh} } = \sqrt{ 2 \frac{r}{h} }$. (2)
Выражая теперь $\cos \gamma$ через $tg \gamma$ -
$\cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + tg^{2} \gamma } }$
и учитывая, что $\cos \gamma = \frac{1}{n}$, получим
$\frac{1}{n} = \frac{1}{ \sqrt{1 + 2 \frac{r}{h} } }$.
Отсюда
$h = \frac{2r}{n^{2} - 1}$.
