Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11780
2019-11-28 
Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис.). Коэффициент трения между доской и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет двигаться доска, если обруч тянуть с силой $F$?
Решение:
Запишем уравнения движения обруча и доски (уравнения II закона Ньютона).
В горизонтальном направления на обруч действуют две силы - сила $F$ и сила трения $F_{тр}$, между доской и обручем (см. рис. 10). Центр тяжести тела - в данном случае центр обруча - движется так, как если бы к нему были приложены все силы, действующие на тело. Поэтому можно записать, что
$ma_{1} = F - F_{тр}$ (1)
($a_{1}$ - ускорение центра обруча)
Обруч не только движется в горизонтальном направлении, но и вращается вокруг центра. Ускорение вращательного движения ему сообщают те же силы $F$ и $F_{тр}$, но в этом случае они действуют "согласованно", раскручивая обруч в одну сторону. Ускорение вращательного движения обруча в системе координат, связанной с его центром (На самом деле система координат, связанная с центром обруча, не инерциальна. Но, рассматривая вращение обруча, это можно не учитывать, поскольку сила инерции приложена к центру тяжести обруча, и ее момент относительно центра обруча равен нулю.) обозначим $a_{2}$. Тогда мы можем записать, что
$ma_{2} = F + F_{тр}$ (2)
Теперь запишем уравнение движения доски. В горизонтальном направлении на нее действует только одна сила - сила трения обруча о доску. Поэтому, если ускорение доски обозначить $a_{3}$, то
$Ma_{3} = F_{тр}$. (3)
Итак, мы получили три уравнения, в которые входят четыре неизвестные величины: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $F_{тр}$. Чтобы найти эти неизвестные, нужно составить еще одно уравнение.
При движении обруча и доски возможны два случая: 1) обруч не проскальзывает относительно доски и 2) обруч проскальзывает относительно доски.
Рассмотрим первый случай: обруч не проскальзывает относительно доски. В этом случае скорость $v_{1}$ поступательного движения центра обруча, линейная скорость $v_{2}$ вращения обруча вокруг его центра и скорость $v_{3}$ доски связаны соотношением
$v_{2} = v_{1} - v_{3}$.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему координат, связанную с центром обруча. В этой системе земля движется влево со скоростью $v_{1}$ (рис.). Так как доска движется относительно Земли вправо со скоростью $v_{3}$, то скорость доски в системе координат, связанной с центром обруча, равна $v_{1} - v_{3}$. С той же скоростью движется и нижняя точка обруча, касающаяся доски. Это и есть линейная скорость вращения обруча вокруг его центра.
Так как силы, действующие на обруч и доску, постоянны, то постоянны и ускорения $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$. Пусть скорости $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ тела приобретают через время $t$ после начала их движения. Тогда $v_{1} = a_{1}t, v_{2} = a_{2}t$ и $v_{3} = a_{3}t$. Следовательно,
$a_{2}t = a_{1}t - a_{3}t$.
Отсюдa
$a_{2} = a_{1} - a_{3}$, (4)
Мы получили уравнение, связывающее ускорения тел. Решая теперь совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), находим
$a_{1} = a_{2} = \frac{F}{m}$
и
$a_{3} = 0$.
У нас получилось, что ускорение доски равно нулю. Из уравнения (3) ясно, что сила трения тоже равна нулю. Это связано с тем, что если к обручу, стоящему даже на абсолютно гладкой доске, приложить силу $F$ так, как показано на рисунке, то ускорение поступательного движения обруча будет совпадать с ускорением его вращательного движения. При этом нижняя точка обруча катится по лоске, не проскальзывая. Происходит это потому, что вся масса обруча сосредоточена в его тонком ободе и сила $F$ сообщает обручу одинаковые ускорения поступательного и вращательного движения. Но это означает, что сила трения не зависит от силы $F$ и всегда равна нулю. Поэтому обруч не может проскальзывать относительно доски (сила трения не может быть равна $kN$), и второй случай мы можем не рассматривать.
Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис.). Коэффициент трения между доской и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет двигаться доска, если обруч тянуть с силой $F$?
Решение:
Запишем уравнения движения обруча и доски (уравнения II закона Ньютона).
В горизонтальном направления на обруч действуют две силы - сила $F$ и сила трения $F_{тр}$, между доской и обручем (см. рис. 10). Центр тяжести тела - в данном случае центр обруча - движется так, как если бы к нему были приложены все силы, действующие на тело. Поэтому можно записать, что
$ma_{1} = F - F_{тр}$ (1)
($a_{1}$ - ускорение центра обруча)
Обруч не только движется в горизонтальном направлении, но и вращается вокруг центра. Ускорение вращательного движения ему сообщают те же силы $F$ и $F_{тр}$, но в этом случае они действуют "согласованно", раскручивая обруч в одну сторону. Ускорение вращательного движения обруча в системе координат, связанной с его центром (На самом деле система координат, связанная с центром обруча, не инерциальна. Но, рассматривая вращение обруча, это можно не учитывать, поскольку сила инерции приложена к центру тяжести обруча, и ее момент относительно центра обруча равен нулю.) обозначим $a_{2}$. Тогда мы можем записать, что
$ma_{2} = F + F_{тр}$ (2)
Теперь запишем уравнение движения доски. В горизонтальном направлении на нее действует только одна сила - сила трения обруча о доску. Поэтому, если ускорение доски обозначить $a_{3}$, то
$Ma_{3} = F_{тр}$. (3)
Итак, мы получили три уравнения, в которые входят четыре неизвестные величины: $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $F_{тр}$. Чтобы найти эти неизвестные, нужно составить еще одно уравнение.
При движении обруча и доски возможны два случая: 1) обруч не проскальзывает относительно доски и 2) обруч проскальзывает относительно доски.
Рассмотрим первый случай: обруч не проскальзывает относительно доски. В этом случае скорость $v_{1}$ поступательного движения центра обруча, линейная скорость $v_{2}$ вращения обруча вокруг его центра и скорость $v_{3}$ доски связаны соотношением
$v_{2} = v_{1} - v_{3}$.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему координат, связанную с центром обруча. В этой системе земля движется влево со скоростью $v_{1}$ (рис.). Так как доска движется относительно Земли вправо со скоростью $v_{3}$, то скорость доски в системе координат, связанной с центром обруча, равна $v_{1} - v_{3}$. С той же скоростью движется и нижняя точка обруча, касающаяся доски. Это и есть линейная скорость вращения обруча вокруг его центра.
Так как силы, действующие на обруч и доску, постоянны, то постоянны и ускорения $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$. Пусть скорости $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ тела приобретают через время $t$ после начала их движения. Тогда $v_{1} = a_{1}t, v_{2} = a_{2}t$ и $v_{3} = a_{3}t$. Следовательно,
$a_{2}t = a_{1}t - a_{3}t$.
Отсюдa
$a_{2} = a_{1} - a_{3}$, (4)
Мы получили уравнение, связывающее ускорения тел. Решая теперь совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), находим
$a_{1} = a_{2} = \frac{F}{m}$
и
$a_{3} = 0$.
У нас получилось, что ускорение доски равно нулю. Из уравнения (3) ясно, что сила трения тоже равна нулю. Это связано с тем, что если к обручу, стоящему даже на абсолютно гладкой доске, приложить силу $F$ так, как показано на рисунке, то ускорение поступательного движения обруча будет совпадать с ускорением его вращательного движения. При этом нижняя точка обруча катится по лоске, не проскальзывая. Происходит это потому, что вся масса обруча сосредоточена в его тонком ободе и сила $F$ сообщает обручу одинаковые ускорения поступательного и вращательного движения. Но это означает, что сила трения не зависит от силы $F$ и всегда равна нулю. Поэтому обруч не может проскальзывать относительно доски (сила трения не может быть равна $kN$), и второй случай мы можем не рассматривать.
