Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1178
2016-10-20 
Закрытый горизонтальный теплоизолированный цилиндр разделён на две части лёгким хорошо проводящим тепло поршнем, который может перемещаться вдоль цилиндра без трения. Теплоёмкость при постоянном объёме у идеального газа, находящегося слева от поршня, составляет $C_{V_{1}}$, а у идеального газа справа от поршня $C_{V_{2}}$. В начальный момент времени поршень находится в равновесии, а температуры и объёмы газов равны, соответственно, $T_{1}, V_{1}$ и $T_{2}, V_{2}$. Во сколько раз изменится давление в цилиндре через большой промежуток времени, когда температуры газов выровняются?
Решение:
В начальный момент времени давление в цилиндре
$p = \frac{ \nu_{1} RT_{1}}{V_{1}} = \frac{ \nu_{2} RT_{2}}{V_{2}}$,
где $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ — число молей газа в каждой из частей цилиндра. Отсюда
$\frac{ \nu_{2}}{ \nu_{1}} = \frac{T_{1}V_{2}}{T_{2}V_{1}}, p(V_{1}+V_{2}) = R ( \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2})$.
После выравнивания температур конечная температура $T^{ \prime}$ и давление $p^{ \prime}$ связаны соотношением
$p^{ \prime}(V_{1} + V_{2}) = ( \nu_{1} + \nu_{2}) RT^{ \prime}$,
поскольку суммарный объём сохраняется. Отсюда
$\frac{p^{ \prime}}{p} = \frac{ ( \nu_{1} + \nu_{2}) T^{ \prime}}{ \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2}} = \frac{T_{2}V_{1} + T_{1}V_{2}}{T_{1}T_{2}(V_{1}+V_{2})} T^{ \prime}$.
Температура $T^{ \prime}$ находится из закона сохранения энергии: внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма и равна $U = C_{V} T$. Поэтому $C_{V_{1}}T_{1} + C_{V_{2}}T_{2} = (C_{V_{1}} + C_{V_{2}})T^{ \prime}$. Отсюда
$\frac{p^{ \prime}}{p} = \frac{T_{2}V_{1} + T_{1}V_{2}}{T_{1}T_{2}(V_{1}+V_{2})} \cdot \frac{C_{V_{1}}T_{1} + C_{V_{2}}T_{2}}{C_{V_{1}} + C_{V_{2}}}$.
Закрытый горизонтальный теплоизолированный цилиндр разделён на две части лёгким хорошо проводящим тепло поршнем, который может перемещаться вдоль цилиндра без трения. Теплоёмкость при постоянном объёме у идеального газа, находящегося слева от поршня, составляет $C_{V_{1}}$, а у идеального газа справа от поршня $C_{V_{2}}$. В начальный момент времени поршень находится в равновесии, а температуры и объёмы газов равны, соответственно, $T_{1}, V_{1}$ и $T_{2}, V_{2}$. Во сколько раз изменится давление в цилиндре через большой промежуток времени, когда температуры газов выровняются?
Решение:
В начальный момент времени давление в цилиндре
$p = \frac{ \nu_{1} RT_{1}}{V_{1}} = \frac{ \nu_{2} RT_{2}}{V_{2}}$,
где $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ — число молей газа в каждой из частей цилиндра. Отсюда
$\frac{ \nu_{2}}{ \nu_{1}} = \frac{T_{1}V_{2}}{T_{2}V_{1}}, p(V_{1}+V_{2}) = R ( \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2})$.
После выравнивания температур конечная температура $T^{ \prime}$ и давление $p^{ \prime}$ связаны соотношением
$p^{ \prime}(V_{1} + V_{2}) = ( \nu_{1} + \nu_{2}) RT^{ \prime}$,
поскольку суммарный объём сохраняется. Отсюда
$\frac{p^{ \prime}}{p} = \frac{ ( \nu_{1} + \nu_{2}) T^{ \prime}}{ \nu_{1}T_{1} + \nu_{2}T_{2}} = \frac{T_{2}V_{1} + T_{1}V_{2}}{T_{1}T_{2}(V_{1}+V_{2})} T^{ \prime}$.
Температура $T^{ \prime}$ находится из закона сохранения энергии: внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма и равна $U = C_{V} T$. Поэтому $C_{V_{1}}T_{1} + C_{V_{2}}T_{2} = (C_{V_{1}} + C_{V_{2}})T^{ \prime}$. Отсюда
$\frac{p^{ \prime}}{p} = \frac{T_{2}V_{1} + T_{1}V_{2}}{T_{1}T_{2}(V_{1}+V_{2})} \cdot \frac{C_{V_{1}}T_{1} + C_{V_{2}}T_{2}}{C_{V_{1}} + C_{V_{2}}}$.
