Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1177
2016-10-20 
В вертикальный теплоизолированный цилиндрический сосуд с гладкими стенками, закрытый лёгким теплоизолирующим поршнем площадью $S$, поместили воду при температуре $T_{0} = 273 К$ и $\nu$ молей гелия при температуре $T < T_{0}$. Через большое время после этого внутри сосуда установилась температура $T_{0}$. Пренебрегая давлением водяных паров, теплоёмкостью сосуда и поршня, а также растворением гелия в воде, найдите, на какое расстояние сместился поршень при установлении теплового равновесия. Удельная теплота плавления льда $\lambda$, плотность льда $\rho_{л}$, плотность воды $\rho_{в} > \rho_{л}$. Давление над поршнем постоянно и равно нормальному атмосферному давлению $p_{0}$.
Решение:
Поскольку процесс проходит при постоянном давлении $p_{0}$, то удельная теплота плавления льда постоянна. Так как в сосуде установилась температура $T_{0}$, равная температуре замерзания воды, то это означает, что часть воды (или вся вода) превратилась в лёд. При этом гелий нагрелся и увеличил свой объём на величину
$\Delta V = \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{p_{0}}$.
Масса $m$ воды, превратившейся в лёд, может быть найдена из уравнения теплового баланса и первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \lambda m = \frac{3}{2} \nu R(T_{0}-T) + p_{0} \Delta V = \frac{5}{2} \nu R (T_{0} - T)$,
откуда
$m = \frac{5 \nu R(T_{0}-T)}{2 \lambda}$.
Замёрзшая вода расширилась, и увеличение её объёма составило
$\Delta V_{1} = \frac{m}{ \rho_{л}} - \frac{m}{ \rho_{в}} = m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л}}{ \rho_{в} \rho_{л}} = \frac{5 \nu R (T_{0}-T)( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}}$.
Пусть поршень сместился на расстояние $h$. Тогда $Sh = \Delta V + \Delta V_{1}$, и
$h = \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{p_{0}S} + \frac{5 \nu R(T_{0}-T)( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л} S} = \frac{ \nu R (T_{0}-T)}{Sp_{0}} \left ( 1 + \frac{5p_{0}( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}} \right )$.
Заметим, что при подстановке всех численных значений выражение $ \frac{5p_{0}( \rho_{в} - \rho_{л})}{ 2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}}$ оказывается равным приблизительно $10^{-4}$, то есть реально можно им пренебречь и считать, что $h \approx \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{Sp_{0}}$.
В вертикальный теплоизолированный цилиндрический сосуд с гладкими стенками, закрытый лёгким теплоизолирующим поршнем площадью $S$, поместили воду при температуре $T_{0} = 273 К$ и $\nu$ молей гелия при температуре $T < T_{0}$. Через большое время после этого внутри сосуда установилась температура $T_{0}$. Пренебрегая давлением водяных паров, теплоёмкостью сосуда и поршня, а также растворением гелия в воде, найдите, на какое расстояние сместился поршень при установлении теплового равновесия. Удельная теплота плавления льда $\lambda$, плотность льда $\rho_{л}$, плотность воды $\rho_{в} > \rho_{л}$. Давление над поршнем постоянно и равно нормальному атмосферному давлению $p_{0}$.
Решение:
Поскольку процесс проходит при постоянном давлении $p_{0}$, то удельная теплота плавления льда постоянна. Так как в сосуде установилась температура $T_{0}$, равная температуре замерзания воды, то это означает, что часть воды (или вся вода) превратилась в лёд. При этом гелий нагрелся и увеличил свой объём на величину
$\Delta V = \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{p_{0}}$.
Масса $m$ воды, превратившейся в лёд, может быть найдена из уравнения теплового баланса и первого начала термодинамики:
$\Delta Q = \lambda m = \frac{3}{2} \nu R(T_{0}-T) + p_{0} \Delta V = \frac{5}{2} \nu R (T_{0} - T)$,
откуда
$m = \frac{5 \nu R(T_{0}-T)}{2 \lambda}$.
Замёрзшая вода расширилась, и увеличение её объёма составило
$\Delta V_{1} = \frac{m}{ \rho_{л}} - \frac{m}{ \rho_{в}} = m \frac{ \rho_{в} - \rho_{л}}{ \rho_{в} \rho_{л}} = \frac{5 \nu R (T_{0}-T)( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}}$.
Пусть поршень сместился на расстояние $h$. Тогда $Sh = \Delta V + \Delta V_{1}$, и
$h = \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{p_{0}S} + \frac{5 \nu R(T_{0}-T)( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л} S} = \frac{ \nu R (T_{0}-T)}{Sp_{0}} \left ( 1 + \frac{5p_{0}( \rho_{в} - \rho_{л})}{2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}} \right )$.
Заметим, что при подстановке всех численных значений выражение $ \frac{5p_{0}( \rho_{в} - \rho_{л})}{ 2 \lambda \rho_{в} \rho_{л}}$ оказывается равным приблизительно $10^{-4}$, то есть реально можно им пренебречь и считать, что $h \approx \frac{ \nu R(T_{0}-T)}{Sp_{0}}$.
