Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1174
2016-10-20 
Пластиковая бутылка из-под газированной воды ёмкостью 1 л имеет прочные нерастяжимые, но гибкие стенки. Стеклянный сосуд ёмкостью 4 л имеет прочные недеформируемые стенки. В бутылку накачали воздух до давления +1 атм при температуре $—50^{ \circ} C$, а в стеклянном сосуде создали разрежение —0,6 атм при той же температуре $—50^{ \circ} C$. Затем сосуды соединили тонким шлангом и после выравнивания давлений стали медленно поднимать температуру от $—50^{ \circ} C$ до $+50^{ \circ} C$. Постройте график зависимости давления внутри сообщающихся сосудов от температуры. Внешнее давление равно атмосферному.
Решение:
Объём пластиковой бутылки зависит от разности внешнего и внутреннего давлений. Если внутри бутылки давление больше наружного — атмосферного, то объём бутылки $V_{1} = 1 л$, а если внутреннее давление меньше атмосферного, то бутылка сжимается, и её объём уменьшается примерно до 0 л. Таким образом, общий объём двух сосудов — стеклянного и пластикового — может при атмосферном давлении $p_{0} = 1 \cdot 10^{5} Па$ иметь любую величину в пределах от $V_{2} = 4 л$ до $V_{1} + V_{2} = 5 л$.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что общее количество газа $\nu$ в обоих сосудах может быть найдено по формуле
$\nu = \frac{1}{R} \left( \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}} \right )$,
где индексы 1 и 2 относятся к бутылке и стеклянному сосуду соответственно, $T_{0} = -50^{ \circ} С, p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Па, p_{2} = 0,4 \cdot 10^{5} Па$.
Определим температуры $T_{1}$ и $T_{2}$, при которых давление воздуха внутри сосудов равно атмосферному, а объёмы равны $V_{2} = 4 л$ и $V_{1} + V_{2} = 5 л$. Так как количество газа $\nu$ в сосудах неизменно, то
$\frac{p_{0}V_{2}}{T_{1}} = \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}}, \frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{T_{2}} = \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}}$.
Отсюда легко найти: $T_{1} \approx 247 К ( -26^{ \circ} С), T_{2} \approx 308 К (+35^{ \circ} С)$.
Значит, после соединения бутылок при температуре $T_{0} = — 50^{ \circ} С$ давление в них будет равно
$p^{ \prime} = \frac{1}{V_{2}} (p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2}) = \frac{T_{0}}{T_{1}} p_{0} \approx 0,9 p_{0}$,
то есть меньше атмосферного, и поэтому в диапазоне температур от $—50^{ \circ} С$ до $—26^{ \circ} С$ общий объём системы равен $V_{2} = 4 л$, и давление нарастает пропорционально абсолютной температуре: $p = \frac{ \nu R}{V_{2}} T$. В диапазоне от $—26^{ \circ} С$ до $+35^{ \circ} С$ давление не меняется и равно атмосферному давлению $p_{0}$, а объём системы увеличивается от $V_{2} = 4 л$ до $V_{1}+V_{2} = 5 л$. И, наконец, в диапазоне от $+35^{ \circ} С$ до $+50^{ \circ} С$ давление снова растёт пропорционально абсолютной температуре: $p = \frac{ \nu R}{V_{1}+V_{2}} T$, но скорость роста меньше, чем на участке
от $—50^{ \circ} С$ до $—26^{ \circ} С$. По достижении температуры $T_{3} = +50^{ \circ} С$ давление в бутылках будет равно
$p^{ \prime \prime} = \frac{T_{3}}{V_{1}+V_{2}} \cdot \frac{p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}}{T_{0}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} p_{0} \approx 1,05 p_{0}$.
Получающийся график зависимости $p(T)$ приведён на рисунке. Отметим, что продолжения наклонных участков этого графика проходят через точку $p = 0 Па, T = 0 К \approx —273^{ \circ} С$.
Пластиковая бутылка из-под газированной воды ёмкостью 1 л имеет прочные нерастяжимые, но гибкие стенки. Стеклянный сосуд ёмкостью 4 л имеет прочные недеформируемые стенки. В бутылку накачали воздух до давления +1 атм при температуре $—50^{ \circ} C$, а в стеклянном сосуде создали разрежение —0,6 атм при той же температуре $—50^{ \circ} C$. Затем сосуды соединили тонким шлангом и после выравнивания давлений стали медленно поднимать температуру от $—50^{ \circ} C$ до $+50^{ \circ} C$. Постройте график зависимости давления внутри сообщающихся сосудов от температуры. Внешнее давление равно атмосферному.
Решение:
Объём пластиковой бутылки зависит от разности внешнего и внутреннего давлений. Если внутри бутылки давление больше наружного — атмосферного, то объём бутылки $V_{1} = 1 л$, а если внутреннее давление меньше атмосферного, то бутылка сжимается, и её объём уменьшается примерно до 0 л. Таким образом, общий объём двух сосудов — стеклянного и пластикового — может при атмосферном давлении $p_{0} = 1 \cdot 10^{5} Па$ иметь любую величину в пределах от $V_{2} = 4 л$ до $V_{1} + V_{2} = 5 л$.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что общее количество газа $\nu$ в обоих сосудах может быть найдено по формуле
$\nu = \frac{1}{R} \left( \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}} \right )$,
где индексы 1 и 2 относятся к бутылке и стеклянному сосуду соответственно, $T_{0} = -50^{ \circ} С, p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Па, p_{2} = 0,4 \cdot 10^{5} Па$.
Определим температуры $T_{1}$ и $T_{2}$, при которых давление воздуха внутри сосудов равно атмосферному, а объёмы равны $V_{2} = 4 л$ и $V_{1} + V_{2} = 5 л$. Так как количество газа $\nu$ в сосудах неизменно, то
$\frac{p_{0}V_{2}}{T_{1}} = \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}}, \frac{p_{0}(V_{1}+V_{2})}{T_{2}} = \frac{p_{1}V_{1}}{T_{0}} + \frac{p_{2}V_{2}}{T_{0}}$.
Отсюда легко найти: $T_{1} \approx 247 К ( -26^{ \circ} С), T_{2} \approx 308 К (+35^{ \circ} С)$.
Значит, после соединения бутылок при температуре $T_{0} = — 50^{ \circ} С$ давление в них будет равно
$p^{ \prime} = \frac{1}{V_{2}} (p_{1}V_{1} + p_{2}V_{2}) = \frac{T_{0}}{T_{1}} p_{0} \approx 0,9 p_{0}$,
то есть меньше атмосферного, и поэтому в диапазоне температур от $—50^{ \circ} С$ до $—26^{ \circ} С$ общий объём системы равен $V_{2} = 4 л$, и давление нарастает пропорционально абсолютной температуре: $p = \frac{ \nu R}{V_{2}} T$. В диапазоне от $—26^{ \circ} С$ до $+35^{ \circ} С$ давление не меняется и равно атмосферному давлению $p_{0}$, а объём системы увеличивается от $V_{2} = 4 л$ до $V_{1}+V_{2} = 5 л$. И, наконец, в диапазоне от $+35^{ \circ} С$ до $+50^{ \circ} С$ давление снова растёт пропорционально абсолютной температуре: $p = \frac{ \nu R}{V_{1}+V_{2}} T$, но скорость роста меньше, чем на участке
от $—50^{ \circ} С$ до $—26^{ \circ} С$. По достижении температуры $T_{3} = +50^{ \circ} С$ давление в бутылках будет равно
$p^{ \prime \prime} = \frac{T_{3}}{V_{1}+V_{2}} \cdot \frac{p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2}}{T_{0}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} p_{0} \approx 1,05 p_{0}$.
Получающийся график зависимости $p(T)$ приведён на рисунке. Отметим, что продолжения наклонных участков этого графика проходят через точку $p = 0 Па, T = 0 К \approx —273^{ \circ} С$.
