Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11705
2019-11-24 
На гладком столе расположена система грузов, изображенная на рисунке. Коэффициент трения между грузами $M$ и $m$ равен $k$. Правый нижний груз тянут вдоль стола с силой $F$, как указано на рисунке. Найти ускорения всех грузов системы.
Решение:
Перенумеруем грузы так, как показано на рисунке. Выберем систему отсчета, связанную со столом, и положительное направление вправо. Тогда никакой из грузов не может иметь отрицательного ускорения.
Пусть вместо грузов 3 и 4 на столе стоит столб, к которому привязана нить. В этом случае натяжение нити будет наибольшим. Но даже в этом случае груз 2 не может иметь ускорения, направленного влево. Поэтому он вообще никогда не может иметь отрицательного ускорения. Ускорение груза 3 равно ускорению груза 2, а ускорение груза 4 направлено вправо, так как на него действует только одна, направленная вправо, сила трения о груз 3.
Докажем, что трение между грузами 3 и 4 - всегда трение покоя. Предположим противное, груз 3 скользит по грузу 4. Тогда сила трения между ними $F_{тр} = kmg$, а сила натяжения веревки $T > kmg$, поэтому ускорение груза 2 направлено влево, чего не может быть. Поэтому ускорения грузов 2, 3 и 4 одинаковы. Обозначим его $a_{2}$, а ускорение груза 1 $a_{1}$, Теперь рассмотрим два случая.
Первый случай. Между грузами 1 и 2 трение покоя и $z_{1} = a_{2}$. Пусть сила трения между ними равна $F_{1}$, а сила трения между грузами 3 и 4 - $F_{2}$; сила натяжения нити $T$.
Тогда
$\begin{cases} F- F_{1} = Ma_{1}, \\ F_{1} - T = ma_{2}, \\ T - F_{2} = ma_{2}, \\ F_{2} = Ma_{2}. \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$F_{1} = \frac{2m + M}{2(M + m)} F$,
$a_{1} = a_{2} = \frac{F}{2(M + m)}$.
Этот же результат можно было получить и не решая систему уравнений. Так как трение между всеми поверхностями - трение покоя, то система грузов движется как твердое тело с массой $\bar{M} = 2 (M + m)$:
$F = \bar{M} a_{1}, a_{1} = a_{2} = \frac{F}{2 (M + m)}$.
Второй случай. Груз 2 скользит по грузу 1. Тогда на груз 1 действует сила $F^{ \prime} = F - kmg$ и его ускорение равно
$a_{1} = \frac{F - kmg}{M}$.
Система грузов 2, 3 и 4 движется как твердое тело; его масса $\bar{M} = 2m + M$ и ускорение
$a_{2} = \frac{kmg}{2m + M}$.
Ясно, что первый случай осуществляется, если
$F_{1} = F \frac{2m + M}{2(M + m)} \leq kmg$,
или
$F \geq \frac{2km(m + M)}{2m + M}g$.
Если $F < \frac{2km (m + M) }{2m + M} g$, то осуществляется второй случай. Решение системы уравнений было необходимым, чтобы определить, какие условия соответствуют первому случаю, а какие - второму.
На гладком столе расположена система грузов, изображенная на рисунке. Коэффициент трения между грузами $M$ и $m$ равен $k$. Правый нижний груз тянут вдоль стола с силой $F$, как указано на рисунке. Найти ускорения всех грузов системы.
Решение:
Перенумеруем грузы так, как показано на рисунке. Выберем систему отсчета, связанную со столом, и положительное направление вправо. Тогда никакой из грузов не может иметь отрицательного ускорения.
Пусть вместо грузов 3 и 4 на столе стоит столб, к которому привязана нить. В этом случае натяжение нити будет наибольшим. Но даже в этом случае груз 2 не может иметь ускорения, направленного влево. Поэтому он вообще никогда не может иметь отрицательного ускорения. Ускорение груза 3 равно ускорению груза 2, а ускорение груза 4 направлено вправо, так как на него действует только одна, направленная вправо, сила трения о груз 3.
Докажем, что трение между грузами 3 и 4 - всегда трение покоя. Предположим противное, груз 3 скользит по грузу 4. Тогда сила трения между ними $F_{тр} = kmg$, а сила натяжения веревки $T > kmg$, поэтому ускорение груза 2 направлено влево, чего не может быть. Поэтому ускорения грузов 2, 3 и 4 одинаковы. Обозначим его $a_{2}$, а ускорение груза 1 $a_{1}$, Теперь рассмотрим два случая.
Первый случай. Между грузами 1 и 2 трение покоя и $z_{1} = a_{2}$. Пусть сила трения между ними равна $F_{1}$, а сила трения между грузами 3 и 4 - $F_{2}$; сила натяжения нити $T$.
Тогда
$\begin{cases} F- F_{1} = Ma_{1}, \\ F_{1} - T = ma_{2}, \\ T - F_{2} = ma_{2}, \\ F_{2} = Ma_{2}. \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$F_{1} = \frac{2m + M}{2(M + m)} F$,
$a_{1} = a_{2} = \frac{F}{2(M + m)}$.
Этот же результат можно было получить и не решая систему уравнений. Так как трение между всеми поверхностями - трение покоя, то система грузов движется как твердое тело с массой $\bar{M} = 2 (M + m)$:
$F = \bar{M} a_{1}, a_{1} = a_{2} = \frac{F}{2 (M + m)}$.
Второй случай. Груз 2 скользит по грузу 1. Тогда на груз 1 действует сила $F^{ \prime} = F - kmg$ и его ускорение равно
$a_{1} = \frac{F - kmg}{M}$.
Система грузов 2, 3 и 4 движется как твердое тело; его масса $\bar{M} = 2m + M$ и ускорение
$a_{2} = \frac{kmg}{2m + M}$.
Ясно, что первый случай осуществляется, если
$F_{1} = F \frac{2m + M}{2(M + m)} \leq kmg$,
или
$F \geq \frac{2km(m + M)}{2m + M}g$.
Если $F < \frac{2km (m + M) }{2m + M} g$, то осуществляется второй случай. Решение системы уравнений было необходимым, чтобы определить, какие условия соответствуют первому случаю, а какие - второму.
