Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 11704
2019-11-24 
Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата со стороной $a$ (рис.), разлетаются. Отношение их масс $\frac{M}{m} = 2000$, а заряды одинаковы. Найти отношение скоростей протонов и позитронов после разлета (на бесконечности).
Решение:
Вначале на все частицы действуют одинаковые по величине силы. Но массы протонов в 2000 раз превышают массы позитронов. Это означает, что ускорения позитронов будут в 2000 раз больше ускорений протонов. Поэтому позитроны быстро разлетятся на бесконечность, а затем протоны будут разлетаться, взаимодействуя уже только друг с другом. Это дает возможность при вычислении скоростей позитронов протоны считать неподвижными.
Найдем полную потенциальную энергию позитронов до разлета. Если бы протонов не было, то потенциальная энергия взаимодействия двух позитронов была бы равна $\frac{e^{2}} {a \sqrt{2} }$ (т. е. работе, которую нужно затратить для сближения двух позитронов). Потенциал поля, которое создает каждый из протонов в точке, где находится позитрон, очевидно, равен $\phi = \frac{e}{a}$. Поэтому полная потенциальная энергия позитронов будет равна
$\Pi = \frac{e^{2} }{ a \sqrt{2} } + 2 \frac{e}{a} e + 2 \frac{e}{a} e = \frac{e^{2} }{a} \left (4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$.
(Потенциальную энергию взаимодействия протонов мы можем не учитывать, так как она не меняется - протоны неподвижны.) Вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию позитронов при их разлете. Ясно, что скорости позитронов на бесконечности одинаковы. Поэтому
$\frac{e^{2} }{a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = 2 \frac{mv^{2} }{2} \Rightarrow \frac{e^{2} }{a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = mv^{2}$. (1)
Теперь рассмотрим разлет протонов. Их потенциальная энергия до разлета, очевидно, равна $\Pi_{2} = \frac{e^{2} }{a \sqrt{2} }$, а полная кинетическая энергия после разлета равна $Mu^{2}$ ($u$ - скорость протонов). По закону сохранения энергии
$\frac{e^{2} }{a \sqrt{2}} = Mu^{2}$. (2)
Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), получим
$\frac{1}{4 \sqrt{2} + 1 } = \frac{M}{m} \left ( \frac{u}{v} \right )^{2}$,
откуда
$\frac{u}{v} = \sqrt{ \frac{m}{M} \frac{1}{4 \sqrt{2} + 1 } } \approx 0,007$.
Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата со стороной $a$ (рис.), разлетаются. Отношение их масс $\frac{M}{m} = 2000$, а заряды одинаковы. Найти отношение скоростей протонов и позитронов после разлета (на бесконечности).
Решение:
Вначале на все частицы действуют одинаковые по величине силы. Но массы протонов в 2000 раз превышают массы позитронов. Это означает, что ускорения позитронов будут в 2000 раз больше ускорений протонов. Поэтому позитроны быстро разлетятся на бесконечность, а затем протоны будут разлетаться, взаимодействуя уже только друг с другом. Это дает возможность при вычислении скоростей позитронов протоны считать неподвижными.
Найдем полную потенциальную энергию позитронов до разлета. Если бы протонов не было, то потенциальная энергия взаимодействия двух позитронов была бы равна $\frac{e^{2}} {a \sqrt{2} }$ (т. е. работе, которую нужно затратить для сближения двух позитронов). Потенциал поля, которое создает каждый из протонов в точке, где находится позитрон, очевидно, равен $\phi = \frac{e}{a}$. Поэтому полная потенциальная энергия позитронов будет равна
$\Pi = \frac{e^{2} }{ a \sqrt{2} } + 2 \frac{e}{a} e + 2 \frac{e}{a} e = \frac{e^{2} }{a} \left (4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$.
(Потенциальную энергию взаимодействия протонов мы можем не учитывать, так как она не меняется - протоны неподвижны.) Вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию позитронов при их разлете. Ясно, что скорости позитронов на бесконечности одинаковы. Поэтому
$\frac{e^{2} }{a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = 2 \frac{mv^{2} }{2} \Rightarrow \frac{e^{2} }{a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right ) = mv^{2}$. (1)
Теперь рассмотрим разлет протонов. Их потенциальная энергия до разлета, очевидно, равна $\Pi_{2} = \frac{e^{2} }{a \sqrt{2} }$, а полная кинетическая энергия после разлета равна $Mu^{2}$ ($u$ - скорость протонов). По закону сохранения энергии
$\frac{e^{2} }{a \sqrt{2}} = Mu^{2}$. (2)
Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), получим
$\frac{1}{4 \sqrt{2} + 1 } = \frac{M}{m} \left ( \frac{u}{v} \right )^{2}$,
откуда
$\frac{u}{v} = \sqrt{ \frac{m}{M} \frac{1}{4 \sqrt{2} + 1 } } \approx 0,007$.
